5.23. Двухоткликовая задача максимума правдоподобия

Возьмем двухоткликовую модель экономики, которую использовали Бодкин и Клейн [28] для подгонки с помощью кривой данных производства США за 1909—1949 гг. Эта модель базируется на теории постоянной гибкой смены производства и имеет вид:

где — капиталовложения, затраты рабочей силы, реальный объем продукции, время (в годах; 1929 г. взят за начало отсчета), отношение стоимости производственных расходов к заработной плате, неизвестные параметры.

Данные в виде ежегодных значений для приведены в табл. 5.6. Из приведенных переменных считаются зависимыми (эндогенными), в то время как независимыми (экзогенными). Бодкин и Клейн использовали - постановку задачи, стандартную для задач экономики, т. е. они полагали, что распределение измеренных значений таково, что оно обеспечивает нормальность ошибок в Функция правдоподобия строится согласно Подробности этих расчетов приведены в работе Эйзенпресса и др. [641 и Эйзенпресса и Гринштадта [65].

Исходя из иллюстративных целей, мы применим здесь иной подход. Заметим, что уравнения модели можно разрешить явно относительно зависимых переменных, чтобы получить уравнения в приведенной форме:

где

Таблица 5.6 (см. скан) Данные производства США

Чтобы привести эти уравнения к более простому виду, введем следующие новые переменные:

и параметризуем задачу, вводя

Теперь приведенные уравнения принимают вид:

где

Решим задачу относительно приведенных параметров а затем, используя обратные преобразования:

найдем оценки параметров с.

Введем несколько других функций правдоподобия, подлежащих максимизации. Полагая, что ошибки в приведенных уравнениях распределены нормально и независимо для каждое года с матрицей ковариаций V, имеем (опуская не относящиеся к делу константы)

Рассмотрим следующие случаи.

(а) Неизвестна матрица Сосредоточенная функция правдоподобия эквивалентна целевой функции

(б) Неизвестна диагональная матрица Функция цели выражается в виде

(в) Ковариационная матрица пропорциональна

ошибки предполагаются вдвое большими, чем ошибки и независимыми от них. Соответствующая целевая функция задается

(г) Условия совпадают с условиями но - зави симые переменные. Функция цели имеет же вид, но надо заменить на Все эти функции цели имеют Гауссову форму, а приближенная матрица Гессе имеет вид

Рассмотрим сначала случай Имеем

Таблица 5.7 (см. скан) Элементы случай

Элементы Выданы в табл. 7. Обращаясь к третьей строке табл. 5.1, найдем, что

В случаях (а), (б) и (в) мы получаем умножением соответствующей входной переменной табл. 5.7 на ибо

Выражение для приведенное в табл. 5.1, становится в случае (а)

в случае (б)

в случае (в)

Опустим детали вычислений. Результаты для случаев сведены в табл. 5.8 в виде конечных оценок 0 и минимальных значений целевой функции В табл. 5.9 приводятся результаты для исходных переменных с. Приведены также результаты Бодкина и Клейна [28], которые пользовались функцией цели вида

Таблица 5.8 (см. скан) Результаты оценивания параметров для задачи теоретического описания производства (оценки в и минимум целевой функции)

Таблица 5.9 (см. скан) Результаты оценивания параметров для задачи теоретического описания производства

(д) Уравнения модели имеют вид (5.23-1).

(е). Уравнения модели записываются так:

Характерно существенное различие в оценках (особенно для хотя во всех случаях одними и теми же уравнениями модели пользовались для подгонки одних и тех же данных. Единственное различие состояло в разных предположениях о распределении ошибок. Отложим дальнейшее обсуждение этой проблемы на конец главы VII.

Что касается вопроса о сходимости, то здесь дело обстоит еще сложнее. При попытке решить эти задачи, пользуясь различными алгоритмами и стартовыми значениями, мы получили, что в каждом случае существует по крайней мере один локальный минимум целевой функции, отличный от глобального. Эти локальные минимумьгтакже приведены в табл. 5.8 и 5.9. Другие минимумы являются, по нашему мнению, глобальными, но мы не знаем, как это доказать. Рабочие данные, характеризующие различные алгоритмы, представлены в табл. 5.10.

5.24. Задачи

(см. скан)

(см. скан)