Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше
Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике
5.23. Двухоткликовая задача максимума правдоподобия
Возьмем двухоткликовую модель экономики, которую использовали Бодкин и Клейн [28] для подгонки с помощью кривой данных производства США за 1909—1949 гг. Эта модель базируется на теории постоянной гибкой смены производства и имеет вид:
где
— капиталовложения,
затраты рабочей силы,
реальный объем продукции,
время (в годах; 1929 г. взят за начало отсчета),
отношение стоимости производственных расходов к заработной плате,
неизвестные параметры.
Данные в виде ежегодных значений
для
приведены в табл. 5.6. Из приведенных переменных
считаются зависимыми (эндогенными), в то время как
независимыми (экзогенными). Бодкин и Клейн использовали - постановку задачи, стандартную для задач экономики, т. е. они полагали, что распределение измеренных значений
таково, что оно обеспечивает нормальность ошибок в
Функция правдоподобия строится согласно
Подробности этих расчетов приведены в работе Эйзенпресса и др. [641 и Эйзенпресса и Гринштадта [65].
Исходя из иллюстративных целей, мы применим здесь иной подход. Заметим, что уравнения модели можно разрешить явно относительно зависимых переменных, чтобы получить уравнения в приведенной форме:
где
Таблица 5.6 (см. скан) Данные производства США
Чтобы привести эти уравнения к более простому виду, введем следующие новые переменные:
и параметризуем задачу, вводя
Теперь приведенные уравнения принимают вид:
где
Решим задачу относительно приведенных параметров
а затем, используя обратные преобразования:
найдем оценки параметров с.
Введем несколько других функций правдоподобия, подлежащих максимизации. Полагая, что ошибки в приведенных уравнениях распределены нормально и независимо для каждое года с матрицей ковариаций V, имеем (опуская не относящиеся к делу константы)
Рассмотрим следующие случаи.
(а) Неизвестна матрица
Сосредоточенная функция правдоподобия эквивалентна целевой функции
(б) Неизвестна диагональная матрица
Функция цели выражается в виде
(в) Ковариационная матрица пропорциональна
ошибки
предполагаются вдвое большими, чем ошибки
и независимыми от них. Соответствующая целевая функция задается
В случаях (а), (б) и (в) мы получаем
умножением соответствующей входной переменной табл. 5.7 на
ибо
Выражение для
приведенное в табл. 5.1, становится в случае (а)
в случае (б)
в случае (в)
Опустим детали вычислений. Результаты для случаев
сведены в табл. 5.8 в виде конечных оценок 0 и минимальных значений целевой функции
В табл. 5.9 приводятся результаты для исходных переменных с. Приведены также результаты Бодкина и Клейна [28], которые пользовались функцией цели вида
Таблица 5.8 (см. скан) Результаты оценивания параметров для задачи теоретического описания производства (оценки в и минимум целевой функции)
Таблица 5.9 (см. скан) Результаты оценивания параметров для задачи теоретического описания производства
(д) Уравнения модели имеют вид (5.23-1).
(е). Уравнения модели записываются так:
Характерно существенное различие в оценках (особенно для
хотя во всех случаях одними и теми же уравнениями модели пользовались для подгонки одних и тех же данных. Единственное различие состояло в разных предположениях о распределении ошибок. Отложим дальнейшее обсуждение этой проблемы на конец главы VII.
Что касается вопроса о сходимости, то здесь дело обстоит еще сложнее. При попытке решить эти задачи, пользуясь различными алгоритмами и стартовыми значениями, мы получили, что в каждом случае существует по крайней мере один локальный минимум целевой функции, отличный от глобального. Эти локальные минимумьгтакже приведены в табл. 5.8 и 5.9. Другие минимумы являются, по нашему мнению, глобальными, но мы не знаем, как это доказать. Рабочие данные, характеризующие различные алгоритмы, представлены в табл. 5.10.
5.24. Задачи
(см. скан)