Глава III. ОЦЕНКИ ПАРАМЕТРОВ И ИХ СВОЙСТВА

А. СТАТИСТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА

3.1. Выборочное распределение

Метод точечного оценивания представляет собой процедуру, позволяющую вычислить оценку вектора параметров по экспериментальным данным, выраженным матрицей, Метод оценивания определяет (в худшем случае неявно) векторную функцию

Будем употреблять выражение «функция оценивания в смысле «процедура оценивания, определяемая функцией Если бы эксперименты, результаты которых мы обрабатываем, повторялись, мы получали бы различные матрицы т. е. различные реализации случайных переменных Применение функции оценивания к вновь полученным данным даст значения отличные от предыдущих. Ясно, что оценки сами являются случайными переменными, имеющими свою функцию распределения вероятности, которая зависит как от характера функции так и от распределения Назовем это распределение выборочным распределением оценки и обозначим ее ПРВ (если она существует) как

Отметим существенное различие между выборочным и апостериорным распределениями. Выборочное распределение относится к оценке которая действительно является случайной переменной. Выборочное распределение определено, коль скоро определена процедура оценивания; различные процедуры оценивания при одних и тех же данных, вообще говоря, приведут к различным выборочным распределениям. С другой стороны, апостериорное распределение параметров не зависит от процедуры оценивания. Оно связано с истинными значениями и его интерпретация в случае, когда эти значения неслучайны, является поэтому весьма спорной.

Уравнение показывает, что выборочное распределение зависит от истинного распределения Оно, однако, зависит и от истинных значений которые обычно неизвестны. Поэтому даже в том случае, когда можно вывести формулу для выборочного распределения, мы можем оценить лишь его аппроксимацию, которая получается подстановкой значений оценок вместо истинных значений параметров. Однако следующий пример показывает, что часто можно вывести

некоторые важные свойства этого распределения. Положим, мы раз измеряем объект для определения его длины. Обозначим результаты измерений через Уравнение модели принимает вид

измерения независимы и нормально распределены с дисперсией и средним

Рассмотрим оценку

которая представляет собой среднее из всех измерений. Хорошо известно, что 0 распределено нормально со средним 0 и дисперсией Тем самым мы находим, что среднее выборочного распределения равно истинному значению , а его дисперсия уменьшается с увеличением объема выборки пропорционально

В этом примере вводятся понятия среднего и дисперсии выборочного распределения, которые являются одновременно средним и дисперсией оценки. В общем случае среднее, или математическое ожидание, и ковариационная матрица оценки определяются из соотношений: