Глава VIII. ДИНАМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ

8.1. Модели, включающие дифференциальные уравнения

Часто модели формулируются на языке дифференциальных уравнений, т. е. уравнения модели содержат не только зависимые и независимые] переменные, но также и производные от зависимых переменных по независимым. Таким образом, уравнения модели имеют вид

Когда проводятся эксперименты, мы измеряем значения у для заданных значений х, но обычно мы не измеряем прямо значения производных. Следовательно, уравнения модели не могут быть непосредственно использованы для оценивания параметров Однако эту трудность можно преодолеть одним из следующих способов.

(а) Численное дифференцирование. Приближенно значения производных, появляющихся в уравнении, можно вычислять численным дифференцированием по соседним значениям. Если это соседние точки, различающиеся только -й координатой, то величина есть приближенное значение производной в этой области. Даже если в некоторых случаях можно получить более точные приближения, максимум достижимой точности по этому методу строго ограничен, а ошибки метода трудно оценивать. Главное преимущество этого метода (в тех случаях, когда он применим) в том, что оценивание выполняется с непосредственным использованием уравнений и делается обычно гораздо проще, чем по интегрированным уравнениям. Следовательно, вычисления можно выполнить намного быстрее, чем по методам, которые будут описываться далее. Мы тем не менее понимаем, что это преимущество не компенсирует недостатков ограниченной точности. Этот метод нельзя использовать вообще, если расстояния между точками данных велики, но его можно применять, когда эксперименты планируются для него специально, например с применением дифференциальных реакторов.

(б) Интегрирование уравнений. Принципиально дифференциальные Уравнения можно проинтегрировать и получить выражения вида

которые идентичны уравнению Следовательно, можно применять все стандартные методы оценивания. Если уравнения Могут быть разрешены аналитически в замкнутой форме, то мы в

конце концов имеем дело с явными формулами для функций в уравнении и их происхождение из решений дифференциальных уравнений не должно нас больше интересовать. Задача, с которой мы будем иметь дело в следующих разделах, — это задача оценивания параметров когда уравнения должны интегрироваться численно, так что функции определены лишь неявно.

Специальная проблема, связанная с методом (б), - это проблема начальных или граничных значений, требующихся для интегрирования дифференциальных уравнений. Часто они определяются экспериментальными условиями, и в этом случае никаких дополнительных трудностей не существует. Когда эти условия полностью или частично неизвестны, их следует включить в задачу как добавочные неизвестные параметры.

(в) Численное интегрирование. Иногда удается проинтегрировать дифференциальные уравнения по всем производным, появляющимся в этих уравнениях. Тем самым дифференциальные уравнения преобразуются в интегральные. Если наши наблюдения густо покрывают область эксперимента, то, чтобы получить значения интегралов, появляющихся в уравнениях, мы можем, проинтегрировать данные численно, а уравнения потом можно рассматривать как алгебраические по параметрам в.

Этот метод, подобно методу (а), требует, чтобы точки данных были расположены близко, и порождает ошибки, которые не удается оценить. Вдобавок он применим только в ограниченном числе случаев. Его преимущество перед методом (а) в том, что вообще численное интегрирование — метод более точный, чем дифференцирование. Подобно методу, (а) в вычислительном отношении он быстрее, чем (б).

Проиллюстрируем эти методы на простом примере, который описывает систему (например, радиоактивное вещество), подвергающуюся распаду первого порядка. В этом случае мы имеем равенство

в качестве уравнения модели. После интегрирования оно переходит в уравнение

Мы измерили значения у для возрастающей последовательности значений Если начальное значение известно, то мы можем использовать наши данные непосредственно, в сочетании с уравнением для оценки параметра Если неизвестно, то мы рассматриваем его как параметр и используем модель

для оценки как так и Сказанное иллюстрирует метод Здесь мы были в состоянии проинтегрировать уравнения аналитически. Метод применяется столь же хорошо, когда уравнения могут быть решены численно.

Чтобы применить метод мы могли бы определить отношения

как аппроксимацию для в точке Затем мы используем равенство

как уравнение модели, по которому оцениваем минимизируя, скажем, величину

Чтобы применить метод (в) мы последуем Химмельблау и др, [105] и проинтегрируем уравнение в пределах от до

Если мы измеряли достаточно много значений у между то мы можем получить приближенное значение интеграла в равенстве используя, скажем, формулу, трапеций:

Тогда можно оценить, исходя из линейной модели

например, по методу наименьших квадратов.

При другом методе численного интегрирования, принадлежащем Шинброту [1771, мы умножаем уравнение и интегрируем результат по области значений х, скажем, от до пользуясь методом интегрирования по частям:

Если выбрать , где произвольное целое число, то слагаемое а А обращается в нуль. Следовательно, мы имеем

Если величина у известна для достаточно плотного множества точек, то мы можем численно проинтегрировать обе части равенства для различных значений Это дает нам отдельные уравнения Для неизвестного параметра и мы можем выбрать то значение которое удовлетворяет этим уравнениям в смысле метода наименьших квадратов.

Выбирая подходящим образом функции, на которые мы умножаем, мы сможем применить этот метод к задачам, включающим производные высшего порядка, точно так же, как и к моделям, включающим в себя уравнения в частных производных (см. [155]).