7.22. Изучение с помощью метода Монте-Карло
Для исследования надежности статистик, полученных в предыдущем разделе, мы применили метод моделирования, предложенный в разделе 3.3. Предполагалось, что модель 
верна, причем 
Это предположение мы использовали, чтобы вычислить значения 
для пятидесяти точек данных, и добавляли в качестве «ошибки эксперимента» псевдослучайные числа, соответствующие определенному распределению. Были использованы шесть распределений: нормальные и равномерные распределения со стандартными отклонениями 
. Однако процедура оценивания всегда выполнялась так, как если бы для ошибок предполагалось, что они нормально распределены.
Для каждого из этих шести случаев моделировалось 100 повторений (выборок) по пятьдесят наблюдений. Для каждой из этих выборок отдельно определялись оценки параметров, вычислялось
наряду с оценкой ковариационной матрицы. Эти ковариационные матрицы усреднялись затем по всем выборкам. Мы вычисляли также, в окрестности среднего для оценок, фактическую ковариационную матрицу оценок (равенство 
Результаты представлены в табл. 7.2.
Таблица 7.2 (см. скан) Изучение по метолу Монте-Карло МНК - оценок для модели с единственным уравнением
На основании данных этой таблицы можно сделать следующие заключения:
1) во всех случаях среднее смещение мало по сравнению со стандартным отклонением оценок;
2) в среднем оценка ковариационной матрицы приемлема как оценка истинной ковариационной матрицы, особенно при малых значениях ошибок эксперимента. Даже при 
оценки не становятся неразумными, особенно когда для получения стандартных отклонений этих оценок берутся квадратные корни;
3) оценки довольно устойчивы, по меньшей мере когда это касается различия между нормальным и равномерным распределениями;
4) подтверждается предположение, что для данной модели к оценкам дисперсий надо относиться с осторожностью (слишком велики);
5) в среднем стандартные отклонения остатков (с поправкой на смещение) служат превосходными оценками для ошибок эксперимента.
Хотя для усреднения по многим повторениям эти заключения справедливы, результаты для отдельных новторений довольно сильно отличаются. А в действительности та специальная задача, которая была решена в разделах 5.21 и 7.21, исходила из одного, повторения (с
округлением величины 
до трех десятичных знаков) нормального распределения 
. Смещение для этой специальной выборки равно:
Истинное значение 
оточено на рис. 7.3. Оно лежит точно внутри области хорошей апрроксимации и соответствует вычисленному ниже значению 
по формуле 
Хотя это значение далеко не чрезмерное, смещение в этой выборке много больше, чем среднее смещение (66,68; 5,05) в табл. 7.2. С другой стороны, оценка ковариационной матрицы 
совершенно случайно ближе к истинной ковариационной матрице, чем усредненная оценка из табл. 7.2. Для некоторых других выборок (повторений) эта оценка намного хуже. В одном случае, например, (когда а все еще равно 0,05) оценка ковариационной матрицы получилась равной
т. е. примерно в два раза больше (что еще не очень значимо по F-критерию). Странным образом эта выборка привела к почти несмещенной оценке
Мы заключаем, что в этой частной задаче наши оценки для 
и доверительные области выглядят вполне приемлемо.
