Приложение А. МАТРИЧНЫЙ АНАЛИЗ

А.1. Матричная алгебра

Читатель, не знающий матричных обозначений, вероятно, будет предпочитать выписывать полностью матричные выражения. Но легкость в обращении с матрицами разовьется скоро, и ему больше не надо будет иметь дело с индексами и суммированиями. Это значительно увеличит его возможности проникновения в предмет и сделает работу намного приятнее.

На протяжении всего текста в книге набранные жирным шрифтом прописные буквы нормального размера (как латинские, так и греческие) обозначают матрицы, например

— это матрица размерами Матрица А — квадратная, если Матрица, все элементы которой нули, обозначается называется нулевой матрицей. Выделенные жирным шрифтом прописные буквы меньшего размера обозначают] вектор-столбцы, полученные из соответствующей матрицы путем выписывания в столбец строк этой матрицы одну за другой. Таким образом, если буквой А обозначена матрица то

Строчные буквы, выделенные жирным шрифтом, обозначают вектор-столбцы, например

- это -мерный вектор. Вектор, все элементы которого нули, обозначается 0, Все не выделенные жирным шрифтом буквы — это скалярные величины. Не выделенные жирным прописные или строчные буквы с индексами внизу могут быть элементами соответствующих матриц или векторов, а набранными жирным буквами с индексами внизу обозначается один представитель из множества векторов или матриц.

Индекс вверху означает транспонирование. Если матрица определяется равенством то

— это матрица размерами Квадратная матрица называется симметричной, если т. е. для всех

Если вектор а определяется равенством то

— это -мерная вектор-строка.

Если обе матрицы имеют размеры то

Определим следующие матричные произведения:

(а) А — размерами и В — размерами Тогда это матрица размерами элемент в строке и столбце которой равен:

(б) А — размерами -мерный вектор. Тогда есть -мерный вектор-столбец, элемент которого равен:

(в) А — размерами -мериый вектор. Тогда есть -мерная вектор-строка, элемент которой равен:

(г) - -мерные векторы. Тогда скалярным (или внутренним) произведением будет число

Скалярное произведение вектора на себя, т. е. равно квадрату длины (называемой также нормой) вектора а. Норма вектора а обозначается ;

(д) а — -мерный вектор и -мерный вектор. Тогда внешнее произведение это матрица размерности элемент в строке и столбце которой равен:

Если рассматривать -мерный вектор-столбец как матрицу размерами а подобную ему вектор-строку — как матрицу размерами то все вышеопределенные произведения становятся частными случаями определения а). На основе этих определений можно составлять произведения любою числа сомножителей. Например, произведение есть число

что может быть проверено применением сначала формулы и затем Это допустимо, поскольку произведения векторов и матриц ассоциативны, т. е.

Пусть А — квадратная матрица размерами т. е. порядка Главная диагональ матрицы А — это множество элементов Диагональная матрица — это такая матрица, у которой ненулевые элементы могут быть только на главной диагонали. Единичная матрица — это диагональная матрица I, все диагональные элементы которой равны единице, т. е.

или

Символ и называется Кронекера. Ясно, что

для любых допустимых матриц и векторов

Если А — квадратная матрица, то символом обозначается такая матрица (если она существует), что

Матрица называется обратной к А. Матрица А может иметь не более одной обратной. Если для матрицы А не существует обратной, то говорят, что она выроясденная.

Легко могут быть выведены следующие соотношения:

Ненулевой вектор называется собственным вектором матрицы А, а число сиитветствующим собственным значением, если

Векторы а и ортогональны, если Если А — симметричная матрица порядка то можно найти взаимно ортогональных собственных векторов матрицы А. Обычно мы нормализуем (нормируем) эти векторы так, чтобы выполнялись соотношения

Тогда векторы образуют систему ортонормированных собственных векторов матрицы А.

Пусть V будет матрицей порядка столбцами которой служат векторы В силу соотношений мы имеем т. е. Такую матрицу называют ортогональной.

Если , то х называется нуль-вектором матрицы А. Если А — квадратная, то она может иметь нуль-векторы только тогда, когда она вырожденная. По меньшей мере одно собственное значение вырожденной матрицы равно нулю.

Пурть это вектор, и А — симметричная матрица. Скалярная величина может рассматриваться как функция от х. Она называется квадратичной формой, связанной с матрицей А. Матрица А является положительно-определенной, если для всех и положительно-полуопределенной, если для всех х. Отрицательная определенность устанавливается аналогично. Все собственные значения положительно-определенной или положительно-полуопределенной матрицы будут положительными или неотрицательными соответственно.

Символ используется для обозначения элемента в строке и столбце матрицы а не для обозначения числа, обратного числу

Если А — квадратная невырожденная матрица, а у — известный вектор, то решение системы линейных уравнений

определяется формулой

Допустим, что А — некоторая матрица, необязательно квадратная. Тогда существует (см. [154]) единственная матрица называемая

псевдообратной к А, удовлетворяющая соотношениям:

Если А — квадратная и невырожденная, то Если матрица А имеет размеры то имеет размеры Если уравнения имеют решение, то вектор у будет решением с минимальной длиной. Если уравнения не имеют решения, то вектор минимизирует сумму квадратов отклонений из всех векторов, обладающих этим свойством, вектор у имеет минимальную длину.

След матрицы А порядка это число, равное

След матрицы равен сумме ее собственных значений, а определитель (или детерминант) матрицы равен произведению ее собственных значений.

Легко проверяется, что

Следовательно,

и

Если I — единичная матрица порядка то

Пусть А — это матрица размерами определенная формулой Допустим, что и I — это положительные целые числа, удовлетворяющие неравенствам Определим следующие матрицы:

Представим матрицу А с помощью разбиения на подматрицы, т. е. как блочную матрицу.

Блочные матрицы можно перемножать так, как если бы подматрицы были элементами, при условии, что получающиеся при этом произведения подматриц имеют смысл. Например, пусть это -мерный вектор с разбиением следующего вида:

где

Тогда легко проверяется, что

Заметим, что это выражение имеет смысл только тогда, когда вектор х разбивается так, чтобы размерность вектора а была равна числу столбцов матриц

Разбиение матрицы более чем на четыре подматрицы делается аналогично.

Ранг матрицы равен максимальному числу линейно независимых столбцов или строк в этой матрице (безразлично, что мы берем, столбцы или строки). Ненулевой вектор имеет ранг, равный единице. Ранг квадратной матрицы равен числу ненулевых собственных значений. Имеют место соотношения:

Отсюда следует, что

и

Про матрицу, ранг которой равен числу строк или столбцов (в зависимости от того, что меньше), говорят, что она полного ранга. Квадратная матрица полного ранга — невырожденная матрица и наоборот.

Матрица вида положительно полуопределена, поскольку для каждого вектора х

Сумма положительно-полуопределенных матриц, тоже положительно полуопределена. Следовательно, матрица яцяц является положительно-полуопределенной.

Если матрица А положительно-полуопределенная, то такова же и матрица где В — любая матрица или вектор.

Пусть А — квадратная матрица. Допустим, что — это собственные значения матрицы А с наименьшим и наибольшим абсолютным значением соответственно. Тогда для любого вектора

Если матрицы размерами соответственно, то 1190, 1970, с. 63]