Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике Приложение А. МАТРИЧНЫЙ АНАЛИЗА.1. Матричная алгебраЧитатель, не знающий матричных обозначений, вероятно, будет предпочитать выписывать полностью матричные выражения. Но легкость в обращении с матрицами разовьется скоро, и ему больше не надо будет иметь дело с индексами и суммированиями. Это значительно увеличит его возможности проникновения в предмет и сделает работу намного приятнее. На протяжении всего текста в книге набранные жирным шрифтом прописные буквы нормального размера (как латинские, так и греческие) обозначают матрицы, например
— это матрица размерами
Строчные буквы, выделенные жирным шрифтом, обозначают вектор-столбцы, например
- это Индекс
— это матрица размерами Если вектор а определяется равенством
— это Если обе матрицы Определим следующие матричные произведения: (а) А — размерами
(б) А — размерами
(в) А — размерами
(г)
Скалярное произведение вектора на себя, т. е. (д) а —
Если рассматривать
что может быть проверено применением сначала формулы
Пусть А — квадратная матрица размерами
или
Символ
для любых допустимых матриц Если А — квадратная матрица, то символом
Матрица Легко могут быть выведены следующие соотношения:
Ненулевой вектор
Векторы а и
Тогда векторы Пусть V будет матрицей порядка Если Пурть Символ Если А — квадратная невырожденная матрица, а у — известный вектор, то решение системы линейных уравнений
определяется формулой
Допустим, что А — некоторая матрица, необязательно квадратная. Тогда существует (см. [154]) единственная матрица псевдообратной к А, удовлетворяющая соотношениям:
Если А — квадратная и невырожденная, то След матрицы А порядка
След матрицы равен сумме ее собственных значений, а определитель (или детерминант) матрицы равен произведению ее собственных значений. Легко проверяется, что
Следовательно,
и
Если I — единичная матрица порядка
Пусть А — это матрица размерами
Представим матрицу А с помощью разбиения на подматрицы, т. е. как блочную матрицу.
Блочные матрицы можно перемножать так, как если бы подматрицы были элементами, при условии, что получающиеся при этом произведения подматриц имеют смысл. Например, пусть
где
Тогда легко проверяется, что
Заметим, что это выражение имеет смысл только тогда, когда вектор х разбивается так, чтобы размерность вектора а была равна числу столбцов матриц Разбиение матрицы более чем на четыре подматрицы делается аналогично. Ранг матрицы равен максимальному числу линейно независимых столбцов или строк в этой матрице (безразлично, что мы берем, столбцы или строки). Ненулевой вектор имеет ранг, равный единице. Ранг квадратной матрицы равен числу ненулевых собственных значений. Имеют место соотношения:
Отсюда следует, что
и
Про матрицу, ранг которой равен числу строк или столбцов (в зависимости от того, что меньше), говорят, что она полного ранга. Квадратная матрица полного ранга — невырожденная матрица и наоборот. Матрица вида
Сумма положительно-полуопределенных матриц, тоже положительно полуопределена. Следовательно, матрица яцяц является положительно-полуопределенной. Если матрица А положительно-полуопределенная, то такова же и матрица Пусть А — квадратная матрица. Допустим, что
Если
|
1 |
Оглавление
|