Г. АПРИОРНАЯ ИНФОРМАЦИЯ И АПОСТЕРИОРНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ

2.16. Априорная информация

Обычно исследователь имеет некоторое представление о значениях оцениваемых параметров еще до сбора каких-либо данных. Часто он может совершенно исключить некоторые значения параметров как невозможные. Например, константа скорости химической реакции или вязкость жидкости должны быть положительными. Поэтому совершенно неприемлемой будет такая процедура оценивания, которая даст отрицательные значения этих параметров. Ученый благодаря своей интуиции может отвергнуть некоторые значения как совершенно неправдоподобные, хотя они, строго говоря, и не являются невозможными. Даже среди допустимых значений исследователь может выбрать некоторые более правдоподобные, чем другие. Например, положим, что химик знает с большой точностью вязкость -гексана и вязкость -октана и пытается определить вязкость -гептана. Опыт изучения свойств ряда соответствующих органических соединений подскажет ему, что нужно отбросить значения или Среди всех остальных значений он предпочтет значения вблизи значениям, близким к или

2.17. Априорное распределение

Все свои априорные знание исследователь может суммировать в так называемом априорном распределении параметров. Априорное распределение можно характеризовать априорной плотностью Необходимо, чтобы априорная плотность была неотрицательной функцией и обладала следующим свойством: если любые два значения то представляет собой отношение правдоподобности значения к правдоподобности Заметим, что мы не требуем выполнения условия нормировки Фактически мы не требуем даже существования интеграла Поэтому будет допустимым считать, что равномерная априорная плотность описывает

случай, когда все значения равновероятны. Всем значениям которые следует, безусловно, исключить, мы всегда приписываем:

До сих пор ведется спор о том, можно ли считать априорное распределение распределением вероятностей. Для статистиков, принадлежащих к частотной школе, вероятностное распределение имеет смысл лишь применительно к случайной переменной. Когда параметрами являются физические константы, их значения вполне определенны (хотя и неизвестны), и они не могут рассматриваться как случайные переменные. Сторонники субъективного вероятностного подхода (например, [173]) и теории решений (например, [163] и [70]), однако, допускают, что «степень уверенности» и субъективные вероятности могут рассматриваться как плотности вероятностей. Они не только допускают постулирование априорных плотностей, но и настаивают только на таком пути. Они считают, что любое разумное последующее действие (например, оценивание параметров) должно базироваться на выборе некоторого априорного распределения.

Мы не будем пытаться разрешить здесь этот спор. Адресуем читателя к Корнфилду [48] для знакомства с кратким обсуждением этой проблемы. Нам кажется, что каждый исследователь должен оценить для себя степень доверия к априорному распределению. Он должен помнить, что введение априорного распределения смещает результаты оценивания к значениям параметров, для которых относительно велико. Это смещение уменьшается при увеличении числа экспериментов. Другими словами, когда достаточно много данных, влияние априорного распределения на оценки становится незначительным, исключая лишь значения для которых

Существует несколько случаев, для которых использование априорного распределения является бесспорным.

(а) Присвоение физически невозможным значениям

Если действительно случайная переменная, ее ПРВ следует использовать как априорную плотность. Например, могут представлять собой определенные физические свойства партии химикатов. Если известно, что эти свойства случайным образом меняются от партии к партии согласно некоторой то совершенно резонно использовать при оценке свойств каждой отдельной партии.

(в) Пусть уже проведен ряд соответствующих экспериментов, и планируются дополнительные. Легко показать, что информацию о параметрах, содержащуюся в данных, можно выразить в виде так называемого апостериорного распределения. Совершенно правильно будет использовать апостериорное распределение по уже проведенным экспериментам в качестве априорного для экспериментов, которые будут проводиться.