1.3. Оценивание

При подгонке модели появляются новые обстоятельства, отсутствующие в задачах подгонки кривой. Параметры модели, т. е. в уравнении обычно являются величинами, имеющими физический смысл. Если вид модели выбран правильно, то целесообразно поставить

вопрос о том, каково истинное значение в. В силу неточности измерений мы никогда не сможем определить истинные значения абсолютно точно. Кроме того, случайность ошибок измерений приводит к тому, что значение , наилучшее для одной серии измерений, будет отличаться от значения, наилучшего для другой серии, даже в том случае, если обе эти серии проведены на одном и том же изотопе. Однако можно поискать такие процедуры расчета оценок параметров, которые давали бы не только хорошее соответствие с результатами эксперимента, но и значения, в среднем достаточно близкие к истинным и несущественно меняющиеся от одного набора экспериментов к другому. Процесс нахождения значений параметров с учетом описанных выше статистических предпосылок назовем оцениванием модели.

Классическая задача статистического оценивания несколько отличается от только что описанной нами задачи оценивания модели. При решении первой из этих двух задач статистик наблюдает последовательность значений («реализаций») случайной переменной. Например, он может получить ряд чисел 1, 5, 6, 3,..., обозначающих последовательность выпадения граней игральной кости. Для статистика «модель» — это распределение вероятностей, которое может зависеть от некоторых неизвестных параметров. В нашем случае если статистик предполагает, что игральная кость нагружена (налита свинцом), он может приписать вероятности шести возможным исходам бросания. Далее он пытается оценить по результатам наблюдений над случайной переменной. В нашем случае он, вероятно, использует оценку

где количество выпадений числа при бросаниях.

Можно привести еще один пример, где наблюденное значение случайной переменной — это рост взрослых людей в населенном пункте. Если положить, что эта переменная имеет нормальное (Гауссово) распределение вероятностей со средним значением и стандартным отклонением а, то функция плотности вероятности запишется так:

Измеряя значения роста случайным образом выбранных индивидуумов, можно получить оценки обычным путем:

Проблема оценивания модели вписывается в рамки проблемы статистического оценивания. Предположим, что результат измерения деланного в момент времени (мы будем вести повествование в терминах

модели радиоактивного распада из раздела 1.2), является случайной переменной со средним значением, определяемым как Если при этом проделать ряд измерений при одном и том же значении то можно обнаружить, что измеренные значения у флуктуируют около среднего значения со стандартным отклонением а. Пусть эти флуктуации распределены по нормальному закону. Функция плотности вероятности для тогда будет иметь вид, подобный

Фактически мы проводим лишь по одному измерению в каждой данной точке Те измерения, которые мы получили, суть реализации различных случайных переменных, распределение каждой из которых зависит как от параметра х, меняющегося от одной переменной к другой, так и от некоторых параметров которые являются общими для всех этих распределений. Проблема оценивания параметров, которой посвящена книга, — это задача отыскания оценок таких общих параметров.

На первый взгляд проблема оценивания параметров кажется белее общей, чем классическая проблема статистического оценивания, так как в последней все выборки подчиняются одному и тому же закону распределения. На самом деле различие между этими проблемами исчезает, если считать, что данные являются единственной многомерной выборкой из совокупности, имеющей некоторое совместное распределение, которому подчиняются все наблюдения, проведенные в процессе экспериментирования. Следовательно, для решения задач оценивания параметров можно применять методы статистического оценивания. Единственное неудобство заключается в том, что исследование асимптотических свойств этих оценок (см. определения в главе III) требуем многократного повторения всего множества экспериментов.

Методы оценивания параметров можно применять как вычислительный инструмент в задачах подбора кривых. При этом следует, однако, помнить, что статистические свойства этих оценок (например, описанные в главах III и VII) иногда теряют смысл, когда речь идет о задачах подбора кривых.

Очевидно, что процедура оценивания параметров значительно сложнее, чем процедура подбора кривой, поэтому для ее решения необходимы более тонкий анализ и более трудоемкие вычисления. Тем не менее эти усилия оправданны, ибо хорошая модель и параметры, оцененные достаточно точно, являются значительно более ценным инструментом как для оценки настоящего положения, так и для предсказания будущих ситуаций, чем любая произвольно подобранная кривая. Чтобы убедиться в этом, достаточно отметить тот факт, что оцениваемый физический параметр одной модели всегда может быть использован в другой модели, в которой он имеет тот же физический смысл.

Например, вязкость жидкости, оцененная по результатам, снятым с вискозиметра, может быть использована для расчета требуемого напора при проектировании трубопроводной системы.

Существуют и другие математические задачи, решаемые как путем оценивания параметров, так и с помощью подбора кривых. Оба эти

метода можно рассматривать как попытки решить (как можно точнее) переопределенные т.е. содержащие большее количество уравнений, чем неизвестных) системы уравнений. Следовательно, решение системы из уравнений с неизвестными может рассматриваться как подгонка по точкам данных модели, содержащей неизвестных параметров.

В двухточечных краевых задачах для обыкновенных дифференциальных уравнений могут рассматриваться модели, в которых известные граничные условия являются данными, а неизвестные начальные — оцениваемыми параметрами. Некоторые задачи оптимального управления также можно решать, считая управляющие воздействия неизвестными параметрами, а совокупность точек желаемой траектории системы — данными, подлежащими подгонке. Аналогичным образом могут быть сформулированы некоторые задачи инженерного проектирования как задачи расчета значений параметров, требуемых для наиболее точного соответствия некоторым заранее определенным условиям.