Глава X. ПЛАНИРОВАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТОВ

10.1. Введение

Параметры оцениваются по данным, которые получены в экспериментах. Естественно задать вопрос, можем ли мы планировать эксперимент так, чтобы облегчить задачу оценивания параметров. Ответ на этот вопрос, вообще говоря, утвердительный, и эта глава посвящается изучению подходящих стратегий эксперимента.

В соответствии с нашими ближайшими целями мы определим эксперимент как акт наблюдения значений некоторых зависимых переменных при заданных значениях независимых переменных х. Мы планируем эксперимент, выбирая некоторым рациональным образом значения х, при которых должны наблюдаться величины у. Мы будем употреблять выражение «эксперимент х» для обозначения эксперимента, при котором независимые переменные приняли значение х. Об этих значениях независимых переменных мы будем говорить как об экспериментальных условиях.

План эксперимента и оценивание параметров образуют только две стадии в научном исследовании. Что представляет собой «рациональный способ» выбора экспериментальных условий, может быть решено только на базе общих целей исследования. Некая идеализированная схема типичного исследования изображена на рис. 10.1. На практике исследователи редко принимают такую схему в точности, но тем не менее неким свободным, неформальным образом они следуют ее принципам.

Содержание этой книги относится к исследованиям, в которых оценивание параметров играет решающую роль, составляя суть блока 3 на рис. 10.1. Такие исследования, естественно, связаны с разработкой математических моделей для представления физических ситуаций. Изобретение формальной схемы для разработки такой модели в общей ситуации пока находится за пределами наших способностей. Поэтому в содержание блока 1 нашей схемы мы вкладываем представление о несколько более скромных целях. Типично, что такой целью может быть одна из следующих.

(а) Оценивание параметров заданной модели с определенной степенью точности. Например, мы можем захотеть оценить кинематическую вязкость жидкости, используя уравнение в качестве модели.

(б) Предсказание значений определенных переменных, которые зависят от некоторых неизвестных параметров. Например, нам

(кликните для просмотра скана)

может быть желательно предсказывать мощность, требующуюся для чтобы жидкость протекала через данную трубку с определенной скоростью. Для этого нам нужно определить вязкость жидкости.

(в) Выбор одной из нескольких предложенных моделей, наилучшим образом согласующейся с реальностью. Если вернуться к жидкости и ее вязкости, нам может потребоваться определить, является жидкость ньютоновской (вязкость постоянная) или неньютоновской (вязкость зависит от скорости сдвига, прошлой истории или от других факторов).

(г) Определение порядка действий в ситуации, когда оптимальное воздействие зависит от того, какая модель верна и какие значения принимают параметры. Например, правильное проектирование сооружения зависит от сопротивления на разрыв используемых материалов; правильный расчет химического реактора зависит от того, может ли реакция быть катализирована; ассортимент товаров, который надо запасти на складах, зависит от предсказанного спроса, который в свою очередь зависит от значений параметров, появляющихся в эконометрической модели.

Метод отбора экспериментов, которые надо будет проделать, должен быть специально приспособлен к цели исследования. Чтобы пояснить эту мысль, достаточно простого примера.

Допустим, мы предполагаем модель По физическим соображениям измерения ограничиваются областью — Интуитивно очевидно (и мы позднее выведем этот факт строго), что наилучшие оценки для и получатся, если все эксперименты будут выполнены в двух крайних точках области: другой стороны, если наша главная забота — доказать, что модель именно такая, как заданная, а не, скажем, то становится крайне необходимым выполнить эксперименты по меньшей мере с тремя различными значениями х. И действительно, наилучшими тремя экспериментами будут эксперименты в точках: Итак, имеет смысл спрашивать: какой эксперимент является наилучшим для достижения нашей цели, а не просто — какой эксперимент наилучший?

Фишером [761, Дэвисом с соавторами [57] и другими исследователями были предложены классические методы планирования экспериментов, отвечающиенесколько иным целям, чем те, с которыми мы будем иметь дело здесь. Эти методы относятся к сельскохозяйственным или промышленным ситуациям, когда никакие априорные математические модели недоступны. Обычно назначается заранее большое число экспериментов, которые должны быть выполнены одновременно (необходимое условие в сельском хозяйстве, когда на эксперимент затрачиваются месяцы). С другой стороны, в научной лаборатории сам эксперимент обычно длится короткое время, но требуется дорогая аппаратура, не так уж много экземпляров которой можно иметь. Эксперименты волей-неволей выполняются последовательно, по одному (или, самое большее, по нескольку).

Вальд 1187] показал, что когда эксперименты выполняются последовательно, их требуется в среднем меньше, чем если они проводятся

одновременно. Это верно даже в том случае, когда информация, полученная в одном эксперименте, никак не используется для планирования следующего. Выигрыш в этом случае проистекает целиком из возможности закончить проведение экспериментов точно в тот момент, когда некая цель была достигнута. Если вдобавок есть возможность планировать каждый эксперимент в свете результатов предыдущих экспериментов, то выигрыш в эффективности может быть очень впечатляющим. В неформальном виде эта стратегия усвоена многими химиками, физиками и другими учеными-экспериментаторами. Здесь мы добиваемся формализации вполне установившихся интуитивных методов. Основные работы в данном направлении — это работы Дж. Е. П. Бокса и его сотрудников, начиная со статьи Бокса и Лукаса 136]. Еще многие их статьи будут цитироваться по мере надобности.