8.2. Стандартные динамические модели

Мы не собираемся рассматривать модели, представленные уравнением в самом общем виде. Скорее мы ограничимся подклассом моделей, наиболее простым, но в то же время Чрезвычайно важным на практике. Это так называемые стандартные динамические модели, которые мы определяем ниже перечислением включенных в них переменных и соотношений между ними:

а) вектор независимых переменных -добавочная независимая переменная обычно называемая временем, хотя она не обязательно представляет фактически физическую временную размерность;

в) вектор неизвестных параметров

г) вектор переменных состояния системы, которые являются функциями от и . Эти функции определяются неявно с помощью

1) системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка

где это вектор заданных функций и

2) системы начальных условии

где это вектор заданных функций. Заметим, что равенство включает в себя возможность того, что некоторые или все функции являются заданными числами (которые считаются независимыми переменными), или того, что они сами являются неизвестными параметрами;

д) вектор наблюдаемых переменных у, точными значениями которых у являются заданные функции от переменных состояния и, возможно, также от других переменных:

Общеизвестный специальный случай — это случай, когда переменные состояния наблюдаются непосредственно, т. е. Заметим, что некоторые из множества параметров, образующих вектор , могут появляться явно только в уравнениях а другие только в соотношениях или

Решая (численно, если потребуется) дифференциальные уравнения с начальными условиями и подставляя рещения в формулу мы приводим уравнение к виду причем переменные вместе играют роль переменных х в этом последнем выражении. Таким образом, модель, которую мы определили приспосабливается к нашему общему виду, хотя и несколько косвенным путем.

В сущности, динамические модели характеризуются множеством переменных состояния системы, которые меняются со временем (или с некоторой другой независимой переменной) в соответствий с определенными дифференциальными уравнениями первого порядка. Начальные условия могут быть полностью или не полностью известны. Состояние системы наблюдается в различнйемоменты времени, но иногда переменные состояния не являютсг непосредственно измеряемыми, цнам приходится вместо них измерять связанные с ними наблюдаемые переменные. Неизвестные параметры могут появляться в начальных условиях в дифференциальных уравнениях и в уравнениях наблюдений В последнем случае они обычно представляют неизвестные характеристики измерительных приборов, например константы калибровки.

Обычно нас интересует главным образом оценивание параметров, появляющихся в дифференциальных уравнениях, но мы не можем избежать оценивания также и остальных параметров. К счаетью, для них часто имеются хорошие начальные оценки. Всякому неполному знанию, которое у нас имеется, касающемуся значений этих параметров, следует придать вид априорного распределения.

Проиллюстрируем понятие динамической системы на примере химической реакции, включающей три реагента, концентрации которых удовлетворяют следующим дифференциальным уравнениям:

Начальные концентрации точно не известны, но все концентрации должны в сумме давать единицу, так что мы можем написать соотношения

где соответственно известная и неизвестная величины.

В момент мы берем из нашего реактора три пробы. В двух из них мы определяем концентрацию непосредственно титрованием. Третья проба пропускается через оптический прибор, который измеряет лучепоглощательную способность смеси. Считается, что она должна быть линейной функцией с неизвестными коэффициентами при Обозначая результаты измерений для этих трех проб мы можем написать, что

где и - неизвестные величины.

В этой модели это переменные состояния системы; наблюдаемые переменные; независимые переменные; и - неизвестные параметры. Уравнения соответствуют уравнениям в том же порядке. Мы связаны в первую очередь с оцениванием констант

и скоростей реакции. Хорошие начальные приближения для можно получить из информации о том, как составлялся раствор, а для из предыдущих экспериментов на той же самой аппаратуре.

Каждый эксперимент, совершаемый над динамической системой, состоит в измерении значений наблюдаемых переменных у для заданных значений независимых переменных Группа экспериментов, выполненных при одинаковых значениях х и одинаковых начальных условиях и отличающихся друг от друга только значениями составляет опыт. Для наших целей безразлично, все ли эксперименты данного опыта были фактически выполнены как часть некоторого физического опыта или в каждом отдельном случае аппаратура заново настраивалась на те же самые условия. Если в отдельных опытах имеются неизвестные начальные условия, то эти условия образуют отдельные неизвестные параметры. В рассмотренном выше примере мы можем иметь неизвестные параметры соответствующие разным опытам.

Однако ковариации между ошибками в различных экспериментах могут зависеть от того, принадлежали эксперименты одному и тому же физическому опыту или нет (см. задачу 4 в разделе 8.9).