7.16. Критерии, основанные на остатках

Критерии проверок, которые мы хотим выполнять по величине остатков, связаны с их средним и дисперсиями. Во многих случаях вопросы, относящиеся к среднему по остаткам, не имеют особого значения, поскольку процедура оценивания гарантирует, что (исключая эффект грубых ошибок) среднее равно нулю. Например, всякий раз, когда по методу наименьших квадратов оценивается модель вида

средний остаток равен нулю. В этом случае пусть целевая функция определится формулой

Для минимизации функции мы образуем систему нормальных уравнений, одно из которых имеет вид

Таким образом, сумма остатков равна нулю и поэтому равно нулю их среднее. Предположим, однако, что мы имеем модель, которая не гарантирует остатков с нулевым средним. Тогда если ошибки в каждом эксперименте имеют ковариационную матрицу V,, мы должны ожидать, что остатки имеют ковариационную матрицу равенство Вектор средних, остатков

должен иметь ковариационную матрицу поскольку дисперсия среднего арифметического от независимых наблюдений в раз меньше дисперсии наблюдений (мы пренебрегаем тем фактом, что остатки коррелированы даже тогда, когда сами наблюдения не коррелированы). Если предполагается, что , то для средних остатков должно быть , и мы можем легко построить доверительные области для вектора как мы это делали для вектора в в разделе 7.10. В частности, статистика

имеет распределение

Если матрица V неизвестна, нам придется ввести матрицу

Если наша гипотеза верна, то статистика

имеет распределение Величину иногда называют статистикой (см. (71, гл. 5). Для модели с одним уравнением . В этом случае величину называют -статистикой, а связанный с ней тест хорошо известен как -критерий.

Если гипотеза о нулевом среднем принимается, то нам может понадобиться проверить гипотезу, что в каждом эксперименте ошибки обладают заданной ковариационной матрицей Другими словами, мы хотим сравнить ковариационную матрицу остатков V, которая определяется равенством с матрицей Соответствующая этому статистика дается выражением

Ее распределение в случае нормального распределения ошибок затабулировано Корином 1126].

Другая часто проверяемая гипотеза — это гипотеза о некоррелированности двух множеств остатков. Нужда в такой проверке появляется тогда, когда мы базируем наши оценки на предположении диагональности ковариационной матрицы ошибок. Тогда мы получаем кова

риационную матрицу V остатков и хотим выяснить, значимо ли элемент отличается от нуля.

Вычислим коэффициент корреляции

Если - это коэффициент корреляции, вычисленный по выборке, состоящей из независимых пар совместно независимых нормально распределенных переменных, то величина

имеет -распределение с степенями свободы [7, с. 651. Для наших целей мы должны бы, вероятно, взять , но при распределение совершенно нечувствительно к числу степеней свободы.

Допустим, что имеем . В соответствии с табл. 4 [51] величина превзойдет 1,095 с -ной вероятностью, которая довольно велика, так что мы не можем отвергнуть гипотезу . У нас было бы 99% уверенности, что если бы мы имели соответствующее неравенству Другие примеры представлены в разделе 7.24.