Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике А.5. Спектральные разложенияПусть А — это симметричная матрица порядка
Тогда
где
Пусть
называется квадратичной формой, определяемой матрицей А. В соответствии с формулой
где
Матрица А является положительно Если ни одно число
поскольку матрица Любая симметричная матрица обладает бесконечным числом спектральных разложений. Среди них важную роль играют следующие разложения: (а) Разложение в главных осях. Предположим, что в качестве
В этом случае мы заменяем обозначения
Пусть
которые устанавливают тот факт, что
представляет собой разложение в главных осях или разложение по собственным значениям матрицы А. Переходя к обратным матрицам в равенстве
при условии, что все числа псевдообращеиия применимо только к симметричным матрицам (по поводу общего случая см. формулы Формулы
где
Поскольку матрица V ортогональная, преобразование, задаваемое формулой Более развернутый анализ методов вычисления собственных значений и векторов можно найти в книге Уилкинсона (б) Шкалированные разложения и обратные шкалированные разложения. Возникновение плохо обусловленных (большое число обусловленности) матриц, встречающихся в практике, часто определяется шкалированием переменных. Рассмотрим, например, функцию
которая является идеально хорошо обусловленной, поскольку оба собственных значения равны единице. Заменим шкалу первой переменной, делая подстановку переменную, полагая
Число обусловленности возросло от 1 до 1010. Это рассуждение подсказывает, что, прежде чем вычислять собственные значения и векторы, нам нужно задать матрицу в подходящей шкале. Простейший способ шкалирования состоит в том, чтобы свести все диагональные элементы к единичной величине. Если наша матрица является матрицей Гессе, то это значит, что мы заменяем шкалы для всех переменных так, чтобы кривизна сечений целевой функции вдоль всех координатных осей в точке минимума была единичной. Если наша матрица является обратной к матрице Гессе, то мы шкалируем все переменные таким образом, чтобы получить единичные стандартные отклонения (см. раздел 7.5). Если наша матрица является положительно- или отрицательно-определенной, то предложенное шкалирование приводит величины всех внедиагональных элементов к значениям, меньшим, чем единица. Если же матрица не является положительно-определенной, то этот метод шкалирования может оказаться неудачным, оставляя очень большими внедиагональные элементы. Однако в целом этот метод приводил обычно к очень хорошим результатам. Если при заданной матрице А мы определим диагональную матрицу В с элементами
то матрица
имеет элементы
где матрица П — диагональная; Равенства
где
Назовем соотношение
где
Назовем соотношение Ниже представлена сводка операций, требующихся для вычисления шкалированных разложений: 1) разделить каждый элемент 2) получить собственные значения 3) умножить 4) шкалированное разложение матрицы А определяется равенством
которое эквивалентно равенству 5) разделить 6) обратное шкалированное разложение матрицы
при условии, что все Замечание. Заменять в перечисленных выше вычислениях каждый нулевой элемент А и на единицу. Численные примеры приведены в разделе 5.21. Вышеописанный алгоритм (если опустить пункты 3 и 4) можно рассматривать как метод вычисления обратной матрицы для симметричной матрицы. Маловероятно, что в таком качестве он заслуживает призовых мест по скорости вычислений, но он является вполне точным и устойчивым. Этот алгоритм дает возможность проникновения в структуру матрицы и позволяет нам генерировать «почти обратные» матрицы к матрице А. Под этим именем мы подразумеваем матрицы, которые (подобно псевдообратным) отличаются от матриц вида (в) Разложение типа квадратного корня. Если матрица А положительно определена, то оказывается возможным получать спектральные разложения, в которых Особый интерес представляет разложение, в котором
так что
Поскольку
Эти уравнения можно решить относительно
Из уравнений
Затем, пользуясь уравнениями
Эти вычисления могут быть выполнены беспрепятственно при условии, что все выражения под каждым квадратным корнем положительны. Это будет иметь место тогда и только тогда, когда матрица Разложение Холецкого особенно полезно при решении относительно х системы линейных уравнений
Эта система может быть переписана в виде
где
Далее, система
Эти уравнения могут быть легко решены по очереди относительно
могут быть решены по очереди относительно В заключение этого раздела мы сделаем замечание вычислительного характера. В большинстве приложений матрица А задается только в виде разложения (равенство 1) допустим, что 2) вычислить вектор 3) вычислить В итоге естественный порядок вычислений выражается формулами:
Численный пример приведен в разделе 5.21.
|
1 |
Оглавление
|