10.6. Правила останова

Мы обращаем теперь наше внимание на блок 4 рис. 10.1. Как мы решаем, нужны ли дальнейшие эксперименты? Как и когда мы решаем, что данная модель лучше, чем альтернативные?

Мы пропагандировали применение метода максимального правдоподобия для оценивания параметров. Мы предпочитали приписывать значение а не нашим параметрам если только функция правдоподобия, связанная с была больше той, которая связана с Та же самая идея используется при выборе моделей: мы предпочитаем модель 1 модели 2, если максимальное правдоподобие, достижимое при модели 1, больше, чем правдоподобие, достижимое при модели 2. Эти соображения приводят к последовательному критерию отношения вероятностей (или отношения правдоподобия) Вальда 11871. Допустим, что нашей целью является выбрать одну из двух альтернативных гипотез, (модель 1 верна) или (модель 2 верна). Пусть это функция правдоподобия значение плотности совместного распределения вероятностей), связанная как с данными, полученными к определенному моменту, так и с текущей наилучшей оценкой параметров, основанной на гипотезе .

Пусть это две константы, удовлетворяющие условию

Тогда критерий отношения правдоподобия применяется следующим образом:

1) если — принять гипотезу 2;

2) если — принять гипотезу 1;

3) если продолжать проведение экспериментов.

Выбор констант А к В определяется тем, какой уровень доверия мы хотим установить для результатов. Пусть число а — это вероятность того, что принимается гипотеза Ни когда верна гипотеза а число это вероятность того, что принимается гипотеза когда верна гипотеза Вальд [187] показал, что приближенно выполняются следующие соотношения (последние два являются логическим следствием первых двух):

Если мы хотим быть, скажем, на 95% уверенными, что мы принимаем гипотезу только тогда, когда верна, и на 90% уверенными, что мы принимаем гипотезу только тогда, когда верна, то так что Обратно, допустим, что мы выбрали Это равносильно принятию вероятностей ошибок а Выбор ведет к равенству следовательно,

Если присутствуют более чем две альтернативы, то нам нужно только применить этот критерий к двум моделям, наиболее вероятным в данный момент.

Поучительно вывести выражение для отношения правдоподобия после экспериментов в случае однооткликовой мсдели. Предполагая, что распределения нормальные, мы имеем

Для модели функция правдоподобия максимизируется, если оценки параметров и величина о удовлетворяют уравнению

Саедовательно,

и отношение правдоподобия равно:

Если после экспериментов то мы надеемся в конечном счете обнаружить, что модели 1 должно быть отдано предпочтение. Если то мы должны отложить на время окончательные выводы до тех пор, пока будет выполнено несколько больше экспериментов. Не имея никаких причин надеяться, что оценки или будут сильно изменены в результате будущих экспериментов, мы

можем предсказать, что отношение будет превосходить число А после того, как мы проведем добавочных экспериментов, а число удовлетворяет условиям:

Наименьшее целое число удовлетворяющее неравенству служит оценкой числа добавочных экспериментов, требующихся для вывода о том, что модель 1 является наилучшей.

Если неравенство

дает оценку для числа добавочных экспериментов, требующихся, что бы отдать предпочтение модели 2. Надежность этих оценок, которая очень мала, когда устойчиво растет, по мере того как приближается к нулю. За дальнейшими обсуждениями ожидаемого числа экспериментов читатель отсылается к работе Вальда (1871.

Если эксперименты выполняются с целью оценить параметры единственной модели, то правило останова обычно формулируется на языке дисперсий оценок. Ставится вопрос, не стало ли значение определителя меньше определенного числа или не стали ли уже все дисперсии отдельных параметров ниже определенных уровней Число добавочных экспериментов, требующихся на некоторой стадии, может быть легко оценено исходя из того, что элементы матрицы грубо пропорциональны числу Если после экспериментов и требуется определить число добавочных экспериментов необходимых для достижения значения то мы должны относительно решить уравнение