Приложение В. ТЕОРЕМА РАО-КРАМЕРА

Пусть это плотность распределения выборки Тогда по определению плотности

Пусть некоторая векторно-значная статистика, т. е. вектор-функция от выборки

и пусть это математическое ожидание статистики т. е.

Из равенства мы имеем

Точно так же из равенства получаем

где

Поэтому из соотношений и вытекает, что

Далее,

и, следовательно, равенство можно переписать в виде

где, по определению, мы полагаем

Ковариационная матрица статистики равна:

Пусть

Пусть произвольная матрица, зависящая от параметров такая, что вектор-столбец, имеет ту же самую размерность, что и вектор и. Матрица очевидно, положительно-полуопределенная и такой же будет сумма любого числа матриц этого вида. Поэтому, если

то эта матрица В будет положительно-полуопределениой. Но

Далее, В должна быть положительно-полуопределениой для любой матрицы в частности, это должно быть справедливо для а в этом случае Следовательно, матрица должна быть положительно-полуопределенной.

В силу определения равенство выполняется тогда и только тогда, когда В этом случае из равенства вытекает, что

а, следовательно, матрица сводится к нулевой, и выполняется равенство

И обратно — предположим, что это равенство справедливо Тогда из определения получаем

В частности, если выбрать матрицу то мы имеем Поэтому согласно определению

и отсюда следует, что Сопоставляя оценку со статистикой и среднее со средним мы получаем результаты, сформулированные в разделе 3.2.

Отметим, что доказательство сохраняет силу только тогда, когда плотность удовлетворяет условиям регулярности, позволяющим выполнять дифференцирование под знаком интеграла в формулах и Мы предполагаем также, что матрица была невырожденной.