Приложение В. ТЕОРЕМА РАО-КРАМЕРА
Пусть
это плотность распределения выборки
Тогда по определению плотности
Пусть
некоторая векторно-значная статистика, т. е. вектор-функция от выборки
и пусть
это математическое ожидание статистики
т. е.
Из равенства
мы имеем
Точно так же из равенства
получаем
где
Поэтому из соотношений
и
вытекает, что
Далее,
и, следовательно, равенство
можно переписать в виде
где, по определению, мы полагаем
Ковариационная матрица статистики
равна:
Пусть
Пусть
произвольная матрица, зависящая от параметров
такая, что вектор-столбец,
имеет ту же самую размерность, что и вектор и. Матрица
очевидно, положительно-полуопределенная и такой же будет сумма любого числа матриц этого вида. Поэтому, если
то эта матрица В будет положительно-полуопределениой. Но
Далее, В должна быть положительно-полуопределениой для любой матрицы
в частности, это должно быть справедливо для
а в этом случае
Следовательно, матрица
должна быть положительно-полуопределенной.
В силу определения
равенство
выполняется тогда и только тогда, когда
В этом случае из равенства
вытекает, что
а, следовательно, матрица
сводится к нулевой, и выполняется равенство
И обратно — предположим, что это равенство справедливо
Тогда из определения
получаем
В частности, если выбрать матрицу
то мы имеем
Поэтому согласно определению
и отсюда следует, что
Сопоставляя оценку
со статистикой
и среднее
со средним
мы получаем результаты, сформулированные в разделе 3.2.
Отметим, что доказательство сохраняет силу только тогда, когда плотность
удовлетворяет условиям регулярности, позволяющим выполнять дифференцирование под знаком интеграла в формулах
и
Мы предполагаем также, что матрица
была невырожденной.