9.2. Неоднородные ковариационные матрицы

Большинство формул оценивания были выведены в предположении, что все ковариационные матрицы ошибок в эксперименте были равны фиксированной (хотя возможно и неизвестной) матрице Когда матрицы отличаются друг от друга, то необходимая модификация формул тривиальна, если только закономерность этих изменений известна. Если же меняются совсем неизвестным образом, то ничего хорошего сделать нельзя; мы просто не можем оценить дисперсию по единственному наблюдению.

Легко можно дать рекомендации в следующих трех случаях.

(а) Допустим, что выполняются следующие условия:

где - это положительно определенная, известная или неизвестная матрица размерами это известные, невырожденные матрицы размерами Эти условия Бключают в себя случай, когда известные матрицы, так как тогда и существуют матрицы такие, что В случае модели с одним уравнением условие сводится к равенству

где — известные константы. Для нормального распределения целевая функция принимает вид

Мы можем опустить второй член в правой части, так как он — константа.

Переопределим наши уравнения модели, записывая их в виде вместо . Мы получаем новые остатки

Целевая функция теперь будет иметь вид

что идентично выражениям, выведенным в главе IV.

Пример. Предположим, что в случае модели с одним уравнением стандартное отклонение пропорционально величине измерения, т. е.

По-новому определенные остатки равны:

Их дисперсия равна Если вместо этого предполагается, что ошиб ни пропорциональны истинным значениям измеряемых переменных, то мы должны остатки переопределять по формуле

С равенствами легче иметь дело, а ошибка, совершаемая при использовании этих равенств вместо по-видимому, невелика

(б) Пусть нам известно, что эксперименты с номерами имеют неизвестную ковариационную матрицу эксперименты с номерами матрицу д. Целевая функция имеет вид

где это матрица моментов для остатков в экспериментах с ковариационной матрицей Поступая так же, как в разделе 4.9, мы дифференцируем эту функцию по элементам матриц и в конечном счете получаем:

а сосредоточенная целевая функция будет равна:

Если бы для некоторых экспериментов ковариационные матрицы были известны, то целевая функция была бы равна:

И где суммирование распространяется только на такие эксперименты.

Оценка минимального числа необходимых экспериментов, полученная в разделе 4.12, применяется теперь к каждому числу отдельно, так как формулой нельзя воспользоваться, если хотя бы одна из матриц вырождена. Следовательно, мы должны обычно иметь неравенство

Другой задачей, которая может быть решена с помощью метода максимального правдоподобия, является задача, где ковариационные матрицы меняются непрерывно, как некоторые функции от независимых переменных. Эти функции могут зависеть от неизвестных параметров, которые могут быть оценены. Случай, когда и уравнения модели, и стандартные отклонения ошибок являются линейными функциями от независимых переменных, изучался Рутемиллером и Бауэрсом [171].

(в) Известные сериальные корреляции. Корреляции между ошибками в различных экспериментах называются сериальными корреляциями. Допустим, что в случае модели с одним уравнением ковариационная матрица всех ошибок равна где

функция правдоподобия имеет вид

Если матрица известна, то мы можем найти матрицу такую, что Определяя новое множество остатков

мы находим, максимизация функции эквивалентна минимизацин суммы квадратов остатков

Оценивание матрицы когда сериальные корреляции неизвестны, — задача относительно трудная, и мы не будем рассматривать здесь эту проблему. Заметим не менее, что у остатков почти всегда наблюдаются сериальные корреляции, даже когда у ошибок их нет. Напри мер, в случае линейной модели с матрицей мы обнаруживаем, что ковариационная матрица остатков равна Поэтому, хотя матрица V диагональная (нет сериальных корреляций), матрица недиагональная. Кроме того, матрица вырожденная, так как