Глава II. ФОРМУЛИРОВКА ЗАДАЧИ

А. ДЕТЕРМИНИСТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ

2.1. Основные положения

Исследователь часто выражает свои теоретические соображения в виде математических соотношений между определенными величинами. Подобным образом и инженер выводит уравнения, описывающие свойства его конструкции или ход процессов. Назовем соотношения, которые, по предположению исследователя, описывают определенное физическое явление, моделью. Как правило, модель состоит из одного или нескольких уравнений. Величины, входящие в уравнения, разобьем на переменные и параметры. Такое разбиение не всегда однозначно, оно часто зависит от задачи, в которой участвуют переменные. Как правило, модель строится для того, чтобы выяснить соотношения, существующие между величинами, которые в эксперименте могут быть измерены независимо; это и есть переменные модели. При выводе этих соотношений, однако, часто вводят «константы», характеризующие особенности, присущие данному явлению (или материалам и оборудованию, используемым в конкретном эксперименте). Это — параметры.

Проиллюстрируем сказанное примером.

Цилиндрический сосуд с площадью поперечного сечения А наполнен жидкостью плотности и вязкости Допустим, что эта жидкость вытекает через капиллярную трубку радиуса и длины Пусть обозначают высоту уровня жидкости в сосуде в моменты соответственно. Уравнения ламинарного потока дают следующее соотношение для данного случая:

где g - ускорение силы тяжести; кинематическая вязкость жидкости. Если интерпретировать (2.1-1) как зависимость высоты уровня жидкости от времени, то следует рассматривать как переменные, как параметры. Среди последних это константа, существующая в природе, следующие три отражают свойства аппаратуры, а свойство используемого вещества. Если бы мы проводили эксперимент над несколькими различными сосудами, то нам следовало бы добавить к списку переменных, оставляя в качестве параметров лишь

С другой стороны, пусть наша установка используется как измеритель вязкости. Мы делаем на сосуде две отметки на уровнях считая от дна сосуда, и измеряем промежуток времени необходимый для того, чтобы уровень жидкости опустился от верхней отметки до нижней. Кинематическую вязкость жидкости можно тогда вычислить из следующего соотношения, полученного из

где Мы градуируем наш прибор с помощью жидкостей, вязкость которых известна. Применительно к такой калибровке содержит две переменные — (измеряемую непосредственно) и (которую можно найти по таблицам) и параметр а (физический смысл которого в данный момент нас не интересует):

Значения некоторых параметров, входящих в модель, могут быть известны с высокой точностью (например, гравитационной постоянной Роль таких параметров не отличается, по крайней мере для целей нашего изложения, от параметров, являющихся чисто числовыми константами, таких, как или в Мы исключаем подобные параметры из дальнейшего рассмотрения.