Приложение Б. ВЕРОЯТНОСТЬ

Содержание этого раздела не следует рассматривать как введение в теорию вероятностей или ее краткое изложение. В нем просто дается перечень вероятностных понятий и обозначений, употребляемых в этой книге.

Обозначение выражает вероятность того, что событие произошло.

Обозначение выражает условную вероятность события когда известно, что событие В произошло.

Если это случайная величина с непрерывным распределением, то

является функцией распределения вероятностей случайной величины . Если функция дифференцируема, то

называется плотностью распределения вероятностей случайной величины . В этом случае

Пусть это любая функция от случайной величины Тогда математическое ожидание случайной величины равно:

В частности, среднее, или математическое ожидание, самой величины равно:

а дисперсия, или ожидаемое значение квадрата отклонения от среднего равна:

Стандартное отклонение распределения случайной величины равно квадратному корню из дисперсии.

Мода распределения случайной величины это значение х, при котором плотность максимальна.

Эти определения обобщаются на тот случай, когда случайный вектор величин Функция совместного распределения определяется равенством

плотность распределения — формулой

а математическое ожидание равно

СО ОО ОО

или в сокращенных обозначениях

Используя те же самые обозначения, определим ковариационную матрицу (иногда называемую также дисперсионно-ковариационной):

Матрица положительно определена или по меньшей мере полуопределена. Дисперсия величины равна диагональному элементу Ковариация между и равна внедиагональному элементу Обобщенная дисперсия вектора по определению равна определителю Коэффициент корреляции величин и определяется формулой

где

— это стандартное отклонение величины Случайные величины называются некоррелированными, если их коэффициент корреляции (или ковариация) равен нулю.

Пусть и — это две случайные величины с плотностями распределения соответственно. Говорят, что эти случайные величины статистически независимы, если плотность их совместного распределения имеет вид:

Можно показать, что независимые случайные величины являются некоррелированными. Обратное выполняется не всегда. Однако для нормально распределенных случайных величин отсутствие корреляции влечет независимость.

Если и — случайные векторы с плотностью совместного распределения то маргинальное распределение случайного вектора выражается формулой

Если распределение вектора зависит от некоторых других переменных у, то плотность его распределения мы будем записывать в виде Если у — это возможное значение некоторого другого случайного вектора то функцию мы будем называть условной плотностью распределения вектора при заданном значении вектора

Следующие равенства связывают совместное, маргинальное и условное распределения

и, следовательно,

при условии, что знаменатель не обращается в нуль. Если векторы независимы, то на основе соотношений и мы находим, что т. е. знание вектора не влияет на распределение вектора

Если это -мерный случайный вектор с плотностью распределения -мерный вектор непрерывных, дифференцируемых и однозначных функций, таких, что только тогда, когда то вектор тоже случайный и его плотность распределения равна:

Матрица Якоби преобразования вектора х в вектор у определяется как а ее определитель (который при вышеперечисленных условиях должен быть ненулевым) называется якобианом.