7.24. Метод максимального правдоподобия для модели с двумя уравнениями

Теперь мы дадим трактовку оценкам, полученным в разделе 5.23. Будем рассматривать случай с неизвестной матрицей Оценка в дается в первой строке табл. 5.8, а соответствующее значение с находится в табл. 5.9. Так как все вычисления выполнялись по отношению к параметрам мы находим матрицу, обратную к приближенной матрице Гессе по параметрам и получаем:

(Обозначение 0,834966 — 1 используется для представления числа Ниже мы выписываем значения оценок наряду с их стандартными отклонениями, причем эти стандартные отклонения

равны квадратному корню из диагональных элементов матрицы V:

Однако для нас представляют интерес не параметры а параметры с. Согласно разделу 7.20 нам, следовательно, нужно вычислить матрицу

Ее можно легко получить дифференцированием соотношения (5.23-8):

Теперь, следуя мы вычислим матрицу

и оценку с представим как

Все параметры довольно хорошо определены, причем параметр хуже, чем все остальные.

Перечень остатков, соответствующих нашим оценкам, приведен в табл. 7.3.

Матрица моментов для этих остатков равна

Таблица 7.3 (см. скан) Остатки для случая (а)

а оценкой для ковариационной матрицы ошибок будет матрица

которой соответствуют стандартные отклонения 0,166427 и 0,0233366 для ошибок измерения величин соответственно.

Мы не настолько знакомы с эконометрическими методами, чтобы решать, приемлемы или нет ошибки такой величины, и можно Ли их приписать одним только ошибкам измерения. Однако беглый взгляд на табл. 7.3 открывает сразу, что по меньшей мере остатки для переменной нельзя приписать случаю. Их график представлен на рис. 7.5. Создается впечатление, что уравнение. не учитывает каких-то регулярных изменений переменной во времени. Уравнение для представляется несколько более удовлетворительным. Тем не менее существуют 21 отрицательный остаток, 20 положительных (оба эти числа больше 10) и 16 серий. Из равенств мы имеем

где z примерно равно стандартному отклонению табличного нормального распределения.

Вероятность обнаружения 16 серий или менее равна приблизительно эта вероятность, в соответствии с таблицами нормального распределения, - всего лишь около 6%. Следовательно, существует прямое, хотя и не вполне очевидное, указание, на то, что остатки для тоже не случайны.

Рис. 7.5. Остатки для первого уравнения, модель предсказания

В случае (б) мы предполагали, что матрица V диагональная. Была получена оценка ковариационной матрицы остатков

Коэффициент корреляции между остатками для равен: Полагая, что мы по формуле (7.16 10) имеем

Согласно таблицам -распределения при 36,5 степенях свободы вероятность встретить значение равное или большее, чем 2,31, составляет примерно всего лишь 3%. Следовательно, гипотезу, что матрица агональная, мы отвергаем.

В случае (в) мы предполагали, что V пропорциональна матрице Ковариационная матрица остатков становится равной матрице

Коэффициент корреляции приводит к значению которое несовместимо с предположением, что другой стороны, если это оценка дисперсии, в четыре раза большей, чем

дисперсия, для которой оценкой служит (каждая оценка основана на 38,5 степенях свободы), то величина

должна иметь -распределение. Вероятность встретить такое значение, как к, меньше, чем 0,5%, а следовательно, гипотеза (в) опровергается.

В случае (г) мы не делали никаких предположений, касающихся матрицы Однако остатки для ведут себя не лучше, чем остатки для (см. рис. 7.5). То же самое справедливо для остатков в случаях . В настоящий момент, основываясь только на данных, мы не имеем никаких оснований, чтобы предпочесть одну из моделей любой другой, и ни одна из них удовлетворительно не учитывает колебаний переменной

7.25. Задачи

(см. скан)