4.19. Линеаризующие преобразования

Рассмотрим уравнения модели Пусть существует преобразование переменных такое, что функция линейна по 0. Тогда для оценивания 0 можно применить метод множественной линейной регрессии. Преимущество подобного преобразования состоит в том, что тогда; оценку 0 можно получить прямыми вычислениями, в то время как процедуры нелинейного оценивания требуют применения сложных итерационных процедур.

Естественно что этот метод был весьма популярным до появления программ нелинейного оценивания для электронных компьютеров. Проиллюстрируем метод следующим простым примером.

Пусть

есть уравнение модели, причем 0 подлежит оцениванию. С помощью преобразования у из этого уравнения получаем следующее

Последнее уравнение линейно по параметру который можно оценить, скажем, минимизируй

Метод одинаково успешно применим, когда функции преобразования линейны либо относительно I параметров либо относительно набора I независимых линейных функций от них, скажем . Тогда мы можем получить линейные оценки для , а затем найти оценки 0 путем решения уравнений Чтобы проиллюстрировать это на простом примере, положим, что

где оцениваемые параметры. Как и ранее, обозначим так что

Полагая, что имеем уравнение

линейное по и Оценки для 0 можно получить, исходя из оценок для следующим образом:

Приведем другие примеры из области кинетики химических реакций.

(а) Уравнение

с помощью преобразования

превращается в

(б) Уравнение

с помощью преобразования

превращается в

Основным возражением против этого метода (кроме его ограниченной применимости) является статистическое распределение ошибок для вычисленных значений не совпадает с распределением самих ошибок в Поэтому обоснованным является применение критерия наименьших квадратов к остаткам у, а не к остаткам у. Мы можем частично преодолеть эту сложность, учитывая, что если — ковариационная матрица ошибок то (при условии, что эти ошибки малы и функция преобразования и ее производные непрерывны и ограничены) ковариационная матрица приближенно равна:

Следовательно, вместо минимизации следует минимизировать В однооткликовом. случае дисперсия для переходит приближенно в дисперсию для у. Преобразование х обычно вносит смещение, т. е. если ошибки в имеют нулевые средние, то ошибки уже не обладают этим свойством. При предположениях, введенных выше, этим смещением обычно можно пренебречь.