2.13. Функция правдоподобия для структурных моделей

(а) Точная структурная модель. Обращаясь к уравнению видим, что становятся дополнительными неизвестными параметрами модели. Для этого случая определим остатки как разности между измеренными значениями и любыми предполагаемыми значениями

Следовательно, функция правдоподобия, выведенная из имеет вид

Предполагается, что параметры не могут быть люоыми: их выбор ограничен тем, что они должны удовлетворять структурным уравнениям

В качестве примера для случая, в котором совместная ПРВ дается выражением укажем, что для образования функции правдоподобия необходимо лишь подставить вместо

Заметим снова, что — это известные векторы (ибо это измеряемые данные). Поэтому они и не присутствуют среди аргументов

В силу того что точная структурная модель включает значительное число дополнительных неизвестных параметров ее желательно преобразовывать в приведенную форму, когда это возможно.

(б) Неточная структурная модель. Пусть модель описывается уравнением Снова остатки определяются как в и их подставляют вместо в выражение для Выражений для получается просто путем оценивания для некоторых значений и 0, т. е. подстановкой вместо Итак,

В этом случае на не накладывается никаких ограничений. Для примера положим, что ошибки в снова распределены, как в аналогично распределены, как Функцию правдоподобия получим, подставляя вместо , а вместо :

Опять-таки будучи известными векторами, не являются аргументами функции Для моделей эконометрии, рассмотренных в пункте (г) раздела 2.11, функция правдоподобия выводится путем перемножения членов типа для всех значении т. е.

Для модели, описываемой уравнениями функция правдоподобия выражается так:

Возможность приведения точной модели к виду зависит прежде всего от соотношения между числом уравнений и числом случайных переменных в эксперименте. Мы будем различать три случая.

1. . За исключением некоторых особых случаев (вырожденного Якобиана) уравнения в принципе можно разрешить относительна

(хотя решение может и не быть единственным). Если решение даже и нельзя выразить в явном виде, его можно получить численно. Таким образом, по крайней мере принципиально, можно исключить из функции правдоподобия, которая станет только функцией

Не все можно исключить. Мы можем тем не менее выбрать различных разрешить уравнения относительно этих и подставить их в функцию правдоподобия. При этом у нас остается лишь неизвестных на один эксперимент, и они не ограничены по величине.

3. . В этом случае мы можем разрешить уравнений относительно и использовать эти чтобы исключить их из функции правдоподобия и из остальных уравнений модели. На каждый эксперимент остается уравнений, содержащих лишь и 0. Поэтому, если число экспериментов равно то общее, число уравнений будет а модель должна включать по крайней мере неизвестных параметров чтобы решение существовало. Мы убеждаемся, что в большинстве случаев число случайных переменных на один эксперимент должно быть по меньшей мере равным числу уравнений.