допустимой области. Заметим, что, поскольку функции ограничений положительны внутри и отрицательны вне допустимой области, их градиенты направлены внутрь допустимой области. Тогда необходимое условие минимума заключается в том, чтобы градиент функции цели был линейной комбинацией градиентов функций ограничений с положительными коэффициентами.
Более точное условие получено Джоном [116], который доказал, что
будет точкой минимума только тогда, когда существуют неотрицательные числа
не равные одновременно нулю, причем такие, что выполняется условие
Более известное условие Куна-Таккера [1281 гласит, что мы можем выбрать
если ограничения
удовлетворяют определенному условию, которое на практике почти всегда удовлетворяется.
Очевидно, что
не изменится, если добавить в правую часть члены, соответствующие неактивным ограничениям, при условии, что их множители предполагаются нулевыми. Условие Куна-Таккера тогда может быть выражено следующим образом:
Последнее уравнение означает, что либо ограничение активно
либо множитель при нем равен нулю. Это условие известно как принцип дополнительной нежесткости.
Достаточные условия локальной оптимальности выведены Мак-Кормиком [142] и Фиакко [71]. Они требуют, чтобы величина
была положительной для всех векторов у, направленных внутрь допустимой области или касательных к ней в точке
Здесь А — матрица Гессе для функции
принято равным единице).
Роль.
здесь аналогична роли множителей Лагранжа в случае ограничений типа равенств. Константы называются дуальными переменными, или «теневыми ценамт. Если действуют ограничения типа равенств и неравенств одновременно, необходимое условие
минимума гласит, что существуют скаляры
и неотрицательные скаляры
такие, что
Условия оптимальности являются темой детального рассмотрения в работе
3.8. Задачи
(см. скан)