6.12. Метод наименьших квадратов — метод проекции

Допустим, что мы пытаемся решить задачу предыдущего раздела, но применяем метод проекции вместо метода штрафных функций. Беглый взгляд на рис. 5.3 делает очевидным, что даже при отсутствии каких бы то ни было ограничений итерации по никогда не достигают реально оси Следовательно, никаких случаев, когда надо проектировать шаг на какое-то из ограничений в системе не возникает, и метод проекции не оказывает влияния на процесс итераций (если не считать того, что исчезает необходимость в некоторых

бесполезных оценках функции в недопустимой области). Однако пустим, что мы заменили ограничения на следующие:

Применим теперь алгоритм из раздела 6.3.

1. Матрица получается как обратная к матрице из равенства а вектор по формуле . Поскольку только совпадает с границей, то, чтобы образовать матрицу из матрицы берется только элемент, принадлежащий первой строке и первому столбцу, и только первый элемент — из вектора

2. Так как совпадает со своей нижней границей,

5. . Выполняем кручение на опорном элементе получая матрицу

7. Поскольку граница для является связывающей. Следовательно, (величина не может меняться), а координата Найдем теперь ртах и попытаемся использовать приращение Это приводит нас к значениям которые нельзя считать приемлемыми. Интерполяция заставляет взять значение и приводит к что уже приемлемо. Для этой точки матрица получает коррекцию: Далее следует выполнить выметание по строке 1, что приводит к результатам:

Только в четвертой итерации при мы добиваемся получения матрицы , которая не требует выметания, так что нижняя граница для параметра перестает быть связывающей. В этой итерации Сходимость наметилась за десять итераций; этот итерационный процесс графически представлен тоже на рис. 5.3.