3.6. Ограничения типа равенств

Пусть минимизируемая функция подвержена ограничениям типа равенств. Если решение обозначено через то в окрестности функция должна быть стационарной для всех вариаций остающихся в пределах ограничений Пусть есть такая вариация,

Аппроксимация первого порядка дает

Из заключаем, что

для всех допустимых вариаций Разлагая в окрестности и ограничиваясь производными первого порядка, найдем

Так как должна быть стационарной, мы должны получить

для всех удовлетворяющих Это условие можно сформулировать так: вектор должен быть ортогональным ко всем векторам которые, в свою очередь, ортогональны к строкам матрицы Следовательно, должен принадлежать к подпространству, порожденному вектор-строками что, в свою очередь, предполагает существование таких чисел

где число ограничений. Константы называются множителями Лагранжа.

Образуем теперь функцию

которая имеет стационарную точку при если и только если

и

Но совпадают в точности с соответственно. Поэтому мы заключаем, что является стационарной в точке при наличии ограничений, если и только если является стационарной функцией в точкеф без ограничений.

В некоторых задачах мы имеем матрицу ограничений . В этом случае нам необходима уже матрица множителей Лагранжа размерами а функция Лагранжа тогда принимает вид

Для определения характера стационарной точки разложим в ряд Тейлора в окрестности сохраняя члены до второго по рядка включительно:

Если точка локального минимума функции при наличии ограничений, то для всех достаточно малых для которых

Такие должны поэтому удовлетворять (приближенно) следующим уравнениям:

и неравенству

Умножая каждое на Я и вычитая из получим, с учетом

Это неравенство должно выполняться для всех удовлетворяющих на линиях, соединяющих точку решения с ближайшими соседними точками, лежащими на поверхностях ограничений. В силу условия непрерывности соотношению должны удовлетворять также касательные к поверхностям ограничений в точке решения, которые являются концами этих линий. Эти касательные удовлетворяют уравнению

Это значит, что они являются нуль-векторами матрицы Теперь пусть В — матрица со столбцами, образующими нуль-пространство матрицы Это означает, что каждый нуль-вектор матрицы может быть выражен в виде где х есть произвольный вектор, размерность которого совпадает с размерностью нуль-пространства. Если размерность есть и если имеет линейно-независимых строк, то размерность х есть матрица Полагая, что

из соотношения получаем, что

для всех - -мерных векторов х, т. е. должна быть положительно полуопределена.

Обратно, если положительно определена, то из условия непрерывности следует, что соотношение выполняется для всех достаточно малых удовлетворяющих

Следовательно, есть точка минимума при наличии ограничений (типа равенств).