А.4. Собственные значения и собственные векторы вещественной симметричной матрицы

Представленное ниже является детальным описанием вычислений по алгоритму, который сочетает в себе приведение матрицы к трехдиагональной форме по Гивенсу и Хаусхолдеру; алгоритм со сдвигами начала для диагонализации трехдиггональной матрицы и последовательные ортогональные преобразования единичной матрицы для получения собственных векторов. По поводу разъяснений см. [1901, [151]. Пункты, помеченные звездочкой, можно опустить, если требуется вычислить только собственные значения.

Символом А обозначается симметричная матрица порядка для которой нужно вычислить собственные значения. Пункт 2 опускается, если Две константы используются при проверках на окончание процесса (пункты 8 и 9 далее). Напрашивается следующий метод выбора значений этих констант. Пусть это желаемая относительная точность наибольшего собственного значения. (Она не может превосходить точности вычислений. Например, если используется -разрядная двоичная длина машинного слова, то мы должны иметь Пусть Тогда полагаем

1. Положить

2. Для поочередно выполнить следующие шаги:

(см. скан)

(см. скан)

значением матрицы А, а вектор является собственным вектором матрицы Эти собственные векторы образуют ортонормированную систему, т. е.