§ 4. Регулярная прецессия гироскопа

Симметричный гироскоп

Симметричньсм гироскопом называется твердое тело, удовлетворяющее следующим условиям: а) тело имеет неподвижную точку (О), б) прямая, проходящая через центр масс тела и его неподвижную

точку, является главной осью инерции, в) моменты инерции относительно двух других главных осей, проходящих через точку О, равны между собой.

Очевидно, что все однородные тела вращения, имеющие неподвижную точку на оси симметрии, удовлетворяют указанным условиям. Однако этим условиям могут удовлетворять и не однородные тела, которые не имеют оси симметрии.

Симметричный гироскоп представляет собой один из немногих случаев, для которого теория движения разработана достаточно полно, и благодаря этому этот случай представляет большой теоретический, а также практический интерес.

Регулярная прецессия

Исследуем частный случай движения гироскопа, называемый регулярной прецессией. Под последней понимается такое движение гироскопа, при котором угол собственного вращения и угол прецессии изменяются пропорционально времени, а угол нутации 0 остается постоянным:

Из последних равенств следует, что угловые скорости собственного вращения и прецессии постоянны, а угловая скорость нутации равна нулю, т. е.

Вектор мгновенной угловой скорости

Дальнейшее исследование направлено на то, чтобы выяснить, какие силы должны быть приложены к гироскопу, чтобы он совершал регулярную прецессию. Начнем исследование с определения вектора мгновенной угловой скорости. Выбирая начало координат в точке О, проведем ось через центр тяжести тела, а оси по любым двум другим главным осям инерции. Оси неподвижной системы координат выберем так, чтобы угол

Как прежде указывалось, угловые скорости изображаются векторами направленными по осям и вектор мгновенной угловой скорости равен сумме указанных векторов:

Но при регулярной прецессии или Далее, направлены по осям , имеют постоянную длину, и угол между

этими векторами, равный , будет постоянен. Следовательно, при регулярной прецессии величина вектора:

лежащего в плоскости нутации, будет постоянной, так же как угол между и осью (рис. 123). Квадрат модуля вектора определится по формуле:

определится в виде:

Рис. 123

Таким образом, при регулярной прецессии вектор вращается вокруг оси z, описывая конус с углом при вершине (рис. 123). Угловая скорость этого вращения постоянна и равна

Кинетический момент

Найдем величину и направление кинетического момента при регулярной прецессии. Вычисляя его проекцию на линию узлов (рис. 123), получаем:

Но так как и по определению для симметричного гироскопа то

Подставляя и из кинематических уравнений Эйлера найдем:

Следовательно, кинетический момент так же как и вектор мгновенной угловой скорости , лежит в плоскости нутации. Кроме того, имеем:

и

Таким образом, вектор постоянен по величине и образует с осью z постоянный угол Косинус этого угла равен:

Сравнивая выражения для видим, что они равны, когда , т. е. эллипсоид инерции в точке О вырождается в сферу. В этом случае вектор кинетического момента направлен вдоль вектора мгновенной угловой скорости. Во всех остальных случаях векторы неколлинеарны, причем, если:

Выражение для момента внешних сил, вызывающих регулярную прецессию

Перейдем к определению момента внешних сил, вызывающего регулярную прецессию. Так как в этом случае:

и

то, используя кинетические уравнения Эйлера, можно определить он, Подставив последние в кинематические уравнения Эйлера, найдем:

(заметим, что ).

Из последних равенств следует, что модуль главного момента внешних сил будет:

Отсюда следует, что модуль главного момента в процессе движения остается постоянным. Кроме того, вектор М лежит в плоскости и из формул видно, что

Но углы суть углы, составляемые линией с осями

Следовательно, вектор М направлен по линии узлов и, очевидно, может быть записан в виде:

где

Из приведенных исследований следует, что для регулярной прецессии гироскопа необходимо, чтобы момент внешних сил относительно неподвижной точки О был постоянен по величине и направлен вдоль линии узлов.

Гироскопический момент

Согласно третьему закону Ньютона, на тело, вызывающее регулярную прецессию гироскопа, будет действовать со стороны последнего момент — М, равный

Момент — М называется гироскопическим моментом. Так как в подавляющем большинстве случаев угловая скорость собственного вращения гироскопа во много раз больше угловой скорости его прецессии, то член последней формулы

обычно значительно меньше С и поэтому можно пользоваться приближенной формулой вида:

или в других обозначениях

где — момент инерции гироскопа относительно его оси симметрии, угловая скорость собственного вращения, угловая скорость прецессии гироскопа. Заметим, что пренебрегая по сравнению с в формулах, определяющих получим, что эти углы равны и выражаются следующим образом-.

Отсюда следует, что вектор момента количества движения направлен по вектору мгновенной угловой скорости .

Регулярная прецессия гироскопа по инерции

Рассмотрим частный случай регулярной прецессии, когда главный момент виешних сил равен нулю. Такое движение можно назвать движением по инерции. В этом случае

Но при регулярной прецессии вектор кинетического момента вращается вокруг оси с угловой скоростью . Поэтому на основании теоремы Резаля будем иметь:

и, следовательно,

Это равенство может иметь место лишь в том случае, когда либо (прецессия отсутствует), либо вектор коллинеарен , т. е. направлен по оси z (случай, когда невозможен, так как если , то значит, и ). Таким образом, если гироскоп движется по инерции, то вектор кинетического момента направлен по неподвижной оси . Связь между находится в этом случае из равенства

Отсюда (если )

или

Прямая и ретроградная прецессия

При регулярной прецессии угол между векторами и может быть острым (рис. 124). В этом случае регулярная прецессия называется прямой. В случае, когда угол между тупой (рис 125) прецессия называется ретроградной. При прямой прецессии имеют одинаковые знаки, при ретроградной — их знаки различные. Так как при регулярной прецессии и вектор мгновенной угловой скорости описывает круглый конус, ось которого совпадает с осью то подвижный и неподвижный аксоиды будут круглыми конусами, оси которых образуют с мгновенной угловой скоростью постоянные углы

Рис. 124

Рис. 125

Осью подвижного аксоида будет ось т. е. ось собственного вращения, а осью неподвижного аксоида — ось т. е. ось прецессии (рис. 124 и 125). При прямой прецессии касание аксоидов внешнее (рис. 124), а при ретроградной — внутреннее (рис. 125).