БИФУРКАЦИИ

По мере изменения параметров динамической системы может меняться число точек равновесия и их устойчивость. Такие изменения нелинейных систем, связанные с изменением параметров системы, являются предметом теории бифуркаций. Те значения параметров, при которых изменяются качественные или топологические свойства движения, называются критическими или бифуркационными значениями.

В качестве примера рассмотрим решение, описывающее идеальный осциллятор Дуффинга:

(1.2.19)

Для начала построим зависимость положения точек равновесия от а. С изменением а от положительных до отрицательных значений единственная точка равновесия распадается на три. На языке динамики: единственный центр преобразуется в седловую точку в центре координат и два центра (рис. 1.15). Бифуркация такого типа называется бифуркацией типа вил. Физический смысл этого явления понятен из того, что силу можно описать с помощью потенциальной энергии. Когда а становится отрицательным, потенциал с одной ямой заменяется потенциалом с двумя ямами. При этом происходит качественное изменение динамики системы, и поэтому является критическим бифуркационным значением.

Другой пример бифуркации — появление в физических системах предельных циклов. В этом случае по мере изменения некоторого управляющего параметра пара комплексно-сопряженных собственных значений переходит из левой части плоскости устойчивая спираль) в правую часть неустойчивая спираль) и возникает периодическое движение, называемое предельным циклом. Такой тип качественного изменения динамики системы, показанный на рис. 1.16, называется бифуркацией Хопфа.

Только что описанная теория называется локальной, потому что она описывает динамическое поведение лишь в окрестности каждой точки равновесия. Основная цель классического динамического анализа заключается в составлении мозаики локальных картин и описания глобальной картины траекторий между точками равновесия.

Такой анализ возможен, когда пучки различных траекторий, соответствующих разным начальным условиям, движутся более или менее когерентно, как ламинарный поток жидкости. Это происходит, если фазовое пространство имеет только два измерения.

Рис. 1.15. Траектории осциллятора с нелинейной возвращающей силой (уравнение Дуффинга (1.2.19)) на фазовой плоскости: а — случай жесткой пружины, а, б — случай мягкой пружины, в — потенциал с двумя ямами,

Рис. 1.16. Бифуркационные диаграммы: а — бифуркация типа вил для уравнения Дуффинга (1.2.19), отвечающая переходу из состояния с одним устойчивым положением равновесия в состояние с двумя устойчивыми равновесными точками; б — бифуркация Хопфа, отвечающая переходу от устойчивой спирали к колебаниям на предельном цикле.

Однако если присутствуют три или более уравнений первого порядка, то пучки траекторий могут разбегаться и запутываться, создавая то, что мы теперь называем хаотическим движением.

Наш короткий обзор пояснил, что существует три классических типа динамического движения:

1) равновесие;

2) периодическое движение, или предельный цикл;

3) квазипериодическое движение.

Эти состояния называются аттракторами, поскольку в присутствии какого-либо затухания переходные отклонения подавляются и система «притягивается» к одному из трех перечисленных состояний. Цель нашей книги — описать другой класс движений, характерных для нелинейных колебаний, который не сводится ни к одному из этих классических аттракторов. Этот новый класс движений — движения хаотические в том смысле, что они непредсказуемы, если присутствует малая неопределенность начальных условий; этот класс движений часто связан с состоянием, называемым странным аттрактором.

Классическим аттракторам соответствуют классические геометрические объекты в фазовом пространстве: равновесному состоянию — точка, периодическому движению или предельному циклу — замкнутая кривая, а квазипериодическому движению соответствует поверхность в трехмерном фазовом пространстве. Как мы увидим в последующих главах, «странный аттрактор» связан с новым (по отношению к классической геометрии) геометрическим объектом, называемым фрактальным множеством. В трехмерном фазовом пространстве фрактальное множество странного аттрактора выглядит как набор бесконечного числа слоев или параллельных плоскостей, причем расстояние между некоторыми из них приближается к бесконечно малому. Для описания этого нового аттрактора нелинейной динамики требуются новые математические идеи и язык, а для его обнаружения и количественной характеристики — новые методы эксперимента. Связь между бифуркациями и хаосом обсуждается в недавно изданной книге [193].