ПЕРЕМЕЖАЕМОСТЬ И ПЕРЕХОДНЫЙ ХАОС

До сих пор мы обсуждали то, что можно было бы назвать «стационарными» хаотическими колебаниями. Двумя другими формами непредсказуемых, нерегулярных движений являются перемежаемость и переходный хаос. В случае перемежаемости всплески хаотического движения, или шума, чередуются с периодами регулярного движения (рис. 5.20).

Рис. 5.20. Перемежающееся хаотическое движение.

Такое поведение наблюдал еще Рейнольдс в своих экспериментах по изучению предтурбулентного режима в трубах (1883 г.) (см. работу Сринивасана [169]). Переходный хаос наблюдается также в некоторых системах как предвестник стационарного хаоса. При определенных начальных условиях система может вести себя квазислучайным образом, т. е. ее траектории могут двигаться в фазовом пространстве, как если бы они находились на странном аттракторе, но через некоторое время движение выходит на регулярный аттрактор, как в случае периодичесхих колебаний. Иногда для экспериментального определения критического параметра для перемежаемости и переходного хаоса используются свойства подобия нелинейного движения. В случае перемежаемости, когда поведение системы близко к периодическому движению, но время от времени претерпевает короткие всплески переходного хаоса, объяснение такого поведения в терминах одномерных отображений, или разностных уравнений, была дано Манневилем и Помо [123].

Как показали численные эксперименты с отображениями, средняя продолжительность периодического движения между двумя последовательными хаотическими всплесками составляет величину

где — управляющий параметр (например, скорость жидкости, амплитуда вынуждающей силы или вынуждающее напряжение), — критическое значение параметра X, при котором возникает хаотическое движение. С увеличением отстройки продолжительность хаотического интервала увеличивается, а продолжительность периодического интервала сокращается. Такое явление можно было бы назвать ползучим хаосом.

Для экспериментального определения параметра необходимо измерить два средних времени, при соответствующих значениях управляющего параметра , и . Это позволит определить коэффициент пропорциональности в соотношении (5.3.29), а также величину

Но, установив «кандидата» в необходимо затем измерить другие значения , чтобы подтвердить закон подобия (5.3.29).

Случай переходного хаоса был исследован Гребоги и др. [49, 50, 52] из Университета штата Мэриленд в серии работ по численным экспериментам с двумерными отображениями. В работах [49, 50] эти авторы рассмотрели двумерное обобщение одномерного квадратичного разностного уравнения, получившего название «отображение Энона» (см. также разд. 1.3):

где J — определитель якобиана, служащий коэффициентом сжатия площадей при отображении. В исследованиях мэрилендской группы коэффициент J был выбран равным —0,3, а параметр а варьировался в определенных пределах. Например, при наблюдалось рождение из траекторий с периодом , состоящего из 6 отдельных частей странного аттрактора, который существует в диапазоне

При траектория при итерациях отображения Энона блуждает вокруг «призрака» странного аттрактора на плоскости (иногда на протяжении более чем 103 итераций); после чего в системе устанавливается периодический режим с периодом 4.

Гребоги и др. обнаружили, что средняя продолжительность переходного хаоса удовлетворяет закону подобия

(5.3.30)

Среднее было найдено путем выбора 102 начальных условий при каждом выборе а. Начальные условия выбирались в первоначальной области притяжения прекратившего существование странного аттрактора. Продолжительность таких переходных хаотических режимов может быть очень велика. Например, в случае отображения Энона Гребоги и его сотрудники обнаружили, что при а при

Та же группа исследователей обнаружила отображения, порождающие суперпереходный хаос, в котором продолжительность переходного периода удовлетворяет закону подобия [53]

(5.3.31)

Эти результаты позволяют предположить, что время жизни некоторых переходных хаотических режимов может превосходить продолжительность любого эксперимента.

Математика, затрагиваемая I этих исследованиях, связана с гомоклиническими точками пересечения устойчивого и неустойчивого многообразий при отображениях. Возникновение гомоклинических точек пересечения мэрилендская группа называет кризисами. Подробное обсуждение математических тонкостей и проблем, связанных с переходными хаотическими режимами, выходит за рамки этой книги. Интересующиеся читатели могут почерпнуть необходимые сведения из упоминавшихся выше оригинальных работ мэрилендской группы.

К сожалению, до сих пор известно лишь очень немного физических примеров или экспериментов, связанных с исследованием переходного хаоса. Однако нет никакого сомнения в том, что переходный хаос представляет собой благодатную почву для будущих исследований.