6.2. МЕРЫ ФРАКТАЛЬНОЙ РАЗМЕРНОСТИ

Существуют два возражения против использования емкости в качестве меры фрактальной размерности странных аттракторов — одио теоретическое и одно вычислительное. Во-первых, емкостная размерность — геометрическая мера, т. е. она не учитывает частоту, с которой траектория посещает элемент покрытия (куб или шар). Во-вторых, подсчет гиперкубов, образующих покрытие множества в фазовом пространстве, требует очень больших затрат вычислительного времени. В этом разделе мы рассмотрим три альтернативных определения фрактальной размерности, которые восполняют недостатки емкости. Следует отметить, однако, что для многих странных аттракторов эти различные размерности дают примерно одно и то же значение.

ПОТОЧЕЧНАЯ РАЗМЕРНОСТЬ

Рассмотрим какую-нибудь траекторию в фазовом пространстве на протяжении продолжительного интервала времени (рис. 6.7). Произведем, во-первых, некоторую выборку точек с тем, чтобы получить на траектории достаточно большое число представляющих точек. Во-вторых, опишем вокруг какой-нибудь точки на траектории сферу радиуса (или куб с ребром ) и подсчитаем число выборочных точек попавших внутрь сферы. Вероятность того, что выборочная точка окажется внутри сферы, мы получим, разделив на полное число выборочных точек на траектории:

Для одномерной орбиты, например для замкнутой периодической орбиты, вероятность линейна по при .

Рис. 6.7. Траектория движения в фазовом пространстве за большой промежуток времени с выборочными точками и сферой, внутри которой производится подсчет выборочных точек.

Если бы траектория была квазипериодической и, например, лежала бы на некоторой двумерной тороидальной поверхности в трехмерном фазовом пространстве, то вероятность найти точку траектории в малом кубе или сфере радиуса составляла бы величину . Это наводит на мысль об определении размерности траектории в точке — вектор в фазовом пространстве) путем измерения доли времени, проводимого траекторией внутри малой сферы, т. е.

(6.2.2)

Для некоторых аттракторов это определение не зависит от точки . Но для многих других аттракторов зависит от , и поэтому лучше пользоваться усредненной поточечной размерностью. Кроме того, для некоторых множеств, таких, как канторовское множество, в распределении точек имеются щели, или пробелы, поэтому и при перестает быть непрерывной функцией от (вспомним хотя бы дьявольскую лестницу, изображенную на рис. 6.3).

Чтобы получить усредненную поточечную размерность, выбирают случайным образом множество точек и в каждой его точке вычисляют . После того как это сделано, усредненная поточечная размерность вычисляется по формуле

В качестве альтернативы можно усреднять вероятности .

Для этого мы выбираем случайное подмножество из М точек, расположенных вокруг аттрактора , и предполагаем, что

или

На практике точек, поэтому

Другой метод вычисления фрактальной размерности состоит в усреднении по радиусам сфер (или размерам кубов) в фазовом пространстве, содержащих одно и то же число точек (например, N точек). Выбирая различные точки отсчета (центры сфер или кубов), вычисляют и берут среднее по точкам отсчета:

Предполагается, что для фракталов выполняется закон подобия

Этот метод исследовали Термониа и Александрович [188].