Предисловие

Если бы кто-то сказал, что через триста лет после публикации Principia Ньютона в динамике будут сделаны новые открытия, его бы посчитали наивным или неумным. Тем не менее в последние десять лет во всех областях нелинейной динамики были обнаружены новые явления, главное из которых — хаотические колебания. Хаотические колебания — это возникновение неупорядоченных движений в совершенно детерминированных системах. Такие движения и раньше обнаруживались в механике жидкостей, но недавно их заметили в несложных механических и электрических системах и даже в простых задачах с одной степенью свободы. Вместе с этими открытиями пришло понимание того, что нелинейные разностные и дифференциальные уравнения могут иметь ограниченные непериодические решения, которые ведут себя случайным образом, хотя в этих уравнениях нет случайных параметров. Это способствовало развитию новых математических идей, новых подходов к динамическим решениям, проникающих сейчас в лаборатории.

Цель этой книги как раз и состоит в том, чтобы помочь перевести эти математические идеи и методы на язык, который инженеры и экспериментаторы могли бы использовать в своих исследованиях хаотических колебаний. Хотя я и экспериментатор в области динамики, мне пришлось разобраться до определенной степени в этих новых математических идеях, таких, как странный аттрактор, отображение Пуанкаре, фрактальная размерность, для того, чтобы экспериментально изучать хаотические явления. Недавно появился ряд прекрасных математических исследований хаотической динамики. Я попытался прочитать эти труды и выделить с помощью моих коллег-теоретиков по Корнеллскому университету суть новых представлений. Книга, лежащая перед Вами, — попытка объяснить важность этого нового языка динамики инженерам, особенно тем, кто намерен изучать колебания в эксперименте.

Я полагаю, что новые геометрические и топологические представления в динамике станут такой же непременной частью лабораторных методов анализа колебаний, какой стал фурье-анализ.

Помимо того что исследования хаотических колебаний приносят с собой новые идеи, они важны для инженерных исследований еще по нескольким причинам. Во-первых, хаос или шум в механических системах затрудняет предсказание времени работоспособности или анализ старения материала, поскольку оказывается неизвестной точная зависимость напряжений в твердых материалах от времени. Во-вторых, осознав, что простые нелинейности способны привести к хаотическим режимам, мы сталкиваемся с вопросами о предсказуемости в классической физике и о ценности численного моделирования нелинейных систем. Обычно полагают, что чем больше и мощнее станут суперкомпьютеры, тем точнее можно будет предсказывать поведение систем. Однако в нелинейных задачах с хаотической динамикой поведение системы чувствительно к начальным условиям и точный расчет будущего поведения может оказаться невозможным даже в случае периодического движения.

Авторы многих новых книг по хаотической динамике предполагают, что читатель уже имеет некоторое представление о современной динамике, нелинейных колебаниях и соответствующих математических методах. В этой книге я старался исходить из тех знаний, которые должен иметь студент старших курсов политехнического института, — это теория обыкновенных дифференциальных уравнений, некоторые представления среднего уровня о динамике, теории колебаний или динамике систем. Я также старался приводить конкретные примеры систем с хаотическим поведением и указывать экспериментаторам способы измерения, предсказания и количественного описания хаотических колебаний в физических системах.

В гл. 2 я описываю некоторые характеристики хаотических колебаний и обсуждаю их характерные признаки и способы их выявления в физическом эксперименте. Классы физических моделей и экспериментальных систем, в которых обнаруживается хаотическое поведение, приведены в гл. 3. В гл. 4 обсуждаются некоторые экспериментальные методы регистрации хаотических явлений; в их числе — отображение Пуанкаре. Это глава о том, как следует ставить эксперимент, и те, кому интересен общий взгляд на проблему, могут ее пропустить. Гл. 5 и 6 более насыщены математикой и посвящены изучению критериев, которые сейчас применяются для предсказания хаотических колебаний, а также обзору новых идей математики фракталов. Представления о фракталах сейчас занимают центральное место во многих новых направлениях развития нелинейной динамики.

Красивые изображения фрактальных геометрических объектов публикуются популярными изданиями, привнося в динамику эстетический аспект. В гл. 6 я попытался связать идеи теории фракталов с конкретными прикладными проблемами нелинейной динамики.

Читатель может спросить, стоило ли писать эту книгу сейчас, когда исследования нелинейных колебаний испытывают такие быстрые изменения. Во-первых, это время оказалось подходящим потому, что я получил приглашение подготовить и прочитать восемь лекций о хаотических колебаниях в Институте фундаментальных проблем техники в Варшаве (Польша) в августе 1984 г. Из этих лекций выросла книга. Во-вторых, в 1984 и 1985 годах меня приглашали прочитать лекции о хаотических колебаниях почти в тридцати университетах и исследовательских лабораториях. Многие мои коллеги высказывали желание получить книгу о хаосе, написанную для экспериментаторов. Я также чувствовал, что многие экспериментаторы и инженеры, занимающиеся колебаниями, не были осведомлены об интереснейших новых результатах динамики. Не сомневаюсь, что, вооруженные новыми подходами к динамическим системам, экспериментаторы придут к дальнейшим достижениям в этой новой области на пути изучения новых приложений и разработки более удобных методов регистрации и описания этих новых явлений.

Я хотел бы поблагодарить моих коллег по факультету теоретической и прикладной механики Кориеллского университета, в особенности Филипа Холмса и Ричарда Рэнда, которые терпеливо пытались объяснить мне эти новые математические идеи. Мне были также полезны беседы с Джоном Гукенхеймером, который раньше работал в Калифорнийском университете в Санта-Крус, а сейчас — в Корнелле. Однако намеренный недостаток строгости в описании некоторых новый идей геометрии и топологии — целиком моя вина. Работая над книгой, я исходил из того, что она достигнет своей цели, только если сможет возбудить интерес к этой новой области науки. При таком интересе читатель, я надеюсь, просмотрит более математизированные работы из списка литературы, где найдет более детальное и точное обсуждение этих новый идей.

И наконец, я хотел бы отметить вклад дипломников и аспирантов, которые с таким энтузиазмом работали со мной над проблемами хаоса, — это Джозеф Кузумано, Мохаммед Голнараги, Ли Гуаньцзянь, Ли Чикунь, Бимал Поддар, Габриэль Раччо и Стефан Шоу (ныне в Университете штата Мичиган).

Особого упоминания заслуживает техническая помощь Стефана Кинга и Вильяма Холмса, которые помогли сконструировать часть электронного оборудования для наших опытов с хаотическими колебаниями.

Что касается списка литературы в конце книги, то я не пытался включить в него все исторически заметные статьи по исследованию хаоса и прошу прощения у тех исследователей, чьи прекрасные вклады в эту область не упомянуты. Включение большего числа ссылок на мои собственные работы, чем на работы какого-либо другого автора, следует толковать как меру авторского тщеславия, а не их относительной важности.

За финансирование хочу поблагодарить Национальный научный фонд (в рамках программы по механике твердого тела, руководимой д-ром Клиффордом Астиллом), Отдел научных исследований военно-воздушных сил (в лице д-ра Энтони Эймоса из Аэрокосмического отдела), Отдел научных исследований военно-морских сил (в лице д-ра Майкла Шлезинджера из Физического отдела), Исследовательский отдел армии (в лице д-ра Гэри Андерсона из Отдела инженерных наук) и корпорацию IBM.

Итака, штат Нью-Йорк, май 1987 года

Фрэнсис Мун