ВЫЧИСЛЕНИЕ НАИБОЛЬШЕГО ПОКАЗАТЕЛЯ ЛЯПУНОВА

Для каждого динамического процесса, будь то траектория, непрерывно зависящая от времени или дискретная эволюция во времени, существует спектр показателей Ляпунова, или характеристических показателей, который говорит нам, как меняются в фазовом пространстве длины, площади и объемы.

Представление о спектре таких чисел мы обсудим в следующем разделе. Что же касается критерия хаоса, то для этого необходимо вычислить только наибольший показатель Ляпунова, который говорит, расходятся ли или сходятся в среднем соседние траектории. До сих пор никем не создан аналоговый компьютер для измерения показателя Ляпунова, хотя не исключено, что какой-нибудь хитроумный инженер изобретет нечто такое, коль скоро эта мера хаотического движения по-прежнему будет считаться полезной. А пока вычисления показателей Ляпунова приходится проводить с помощью цифровых ЭВМ, предпочтительно лабораторных компьютеров средних масштабов, таких, как Micro Vax фирмы Digital Equipment Corporation или аналогичных компьютеров. В нескольких работах сообщались результаты, полученные с помощью быстродействую. шего персонального компьютера PC.

Существуют два общих метода вычисления показаталей Ляпу, нова: один для данных, порожденных известной системой дифференциальных или разностных уравнений (потоков или каскадов), второй — для данных из экспериментальных временных рядов. В работе Вулфа и др. [209] обсуждаются оба эти метода, но, как показывает наш собственный опыт, создание надежного алгоритма для определения показателя Ляпунова по экспериментальным данным требует проведения дополнительных исследований. Мы кратко рассмотрим метод вычисления показателя Ляпунова для системы дифференциальных уравнений вида

где — набор из переменных состояния, — набор из пара метров. Более полное изложение этих методов можно найти в работе Симады и Нагасимы [174], в серии работ Беннетина и др. (полная библиография которых приведена в работе [8]) и в работе Уэды [197].

Основная идея вычислений, использующих соотношение (5.4.3), состоит в определении отношения расстояний между траекториями . Один из методов состоит в численном интегрировании системы уравнений (5.4.10) с тем, чтобы получить опорное решение , где — начальное условие. Затем на каждом временном шаге система (5.4.10) интегрируется снова с какой-нибудь соседней точкой в качестве начального условия. Но более прямой метод состоит в использовании уравнений (5.4.10) для нахождения вариации траекторий в окрестности выделенной (опорной) траектории . При таком подходе мы на каждом временном шаге решаем уравнения в вариациях

(5.4.11)

где А — матрица частных производных

Подчеркнем, что элементы матрицы А, вообще говоря, зависят от времени. Но если бы матрица А была постоянной, то решение в интервале зависело бы от начального условия. Если это начальное условие выбрано случайным образом, то с ненулевой вероятностью имеет составляющую в направлении наибольшего положительного собственного значения матрицы А. Изменение расстояний между соседними траекториями в этом направлении и есть то, что характеризует наибольший показатель Ляпунова.

Схема вычислений выглядит следующим образом. Интегрируя уравнение (5.4.10), находим Чтобы избавиться от всякого рода переходных процессов, мы выжидаем некоторое время и лишь затем вычисляем (ведь по предположению, мы находимся на устойчивом аттракторе). Когда все переходные процессы по нашему мнению затухают и становятся малыми, мы приступаем к интегрированию уравнений (5.4.11), чтобы найти . Можно выбрать но произвольное начальное направление. Затем мы численно интегрируем уравнения , учитывая изменения в А из-за . [На практике уравнения (5.4.10) и (5.4.11) можно интегрировать одновременно.] По истечении заданного интервала времени мы получаем

Чтобы начать новый шаг в (5.4.3), выберем за новое начальное условие направление вектора т. е. положим

где начальное расстояние нормировано на единицу.

Пример такого рода вычислений показан на рис. 5.29, где результаты численного интегрирования уравнения Дуффинга (1.2.4) в хаотическом состоянии представлены как функция времени, прошедшего с начала счета (числа циклов). Интегрируемые уравнения имели вид

(5.4.14)

Вычисляем матрицу производных правых частей

(5.4.15)

Рис. 5.29. Наибольший показатель Ляпунова для хаотического движения в потенциале с двумя ямами (6.3.26) как функция времени

Так как в действительности мы имеем дело с осциллятором, на который действует периодическая вынуждающая сила, изменения расстояний между траекториями в фазовом пространстве вдоль оси равны нулю, что находит свое выражение в строке нулей матрицы А. Следовательно, для того чтобы найти в этой задаче наибольший показатель Ляпунова, можно работать в проекции фазового пространства на фазовую плоскость , используя матрицу, стоящую в прямых скобках в левом верхнем углу матрицы А в (5.4.15).

Для данных, приведенных на рис. 5.29, шаг по времени при численном интегрировании выбирался равным а число шагов по времени при интегрировании — равным 10, или Внутренняя матрица в А (5.4.15) вычислялась заново на каждом временном шаге метода Рунге — Кутта.

Из рис. 5.29 видно, что — статистическое свойство движения» т. е. для получения надежного значения необходимо усреднять изменения расстояний между траекториями в течение длительного времени. Кроме того, необходимо с большой осторожностью вы бирать и шаг по времени при интегрировании уравнений по методу Рунге — Кутта, и шаг для показателя Ляпунова.

Сравнение показателей Ляпунова при различных значениях параметров в уравнении Дуффинга проведено в табл. 5.1.

Таблица 5.1. Сравнение вычисленных значений показателя Ляпунова для уравнения дуффинга при различных значениях k и В

Изложенный выше алгоритм вычисления показателей Ляпунова оказался весьма полезным при построении эмпирических критериев хаоса и диаграмм. Имея доступ к быстродействующим компьютерам (так называемым суперкомпьютерам), можно вычислить X как функцию параметров задачи [вектора С в (5.4.10)]. Например, можно выбрать в уравнении Дуффинга и найти для пар значений k и В. Если то компьютер печатает какой-нибудь условный символ, если — оставляет пробел. Такие численно построенные диаграммы полезны при поиске возможных областей в пространстве параметров, в которых могут существовать хаотические движения (см. рис. 5.3). Но с учетом всякого рода «капризов» численных методов при установлении хаотического характера той или иной области не следует целиком полагаться на изложенную выше процедуру. Для подтверждения хаотического характера движений в исследуемой области следует привлекать и другие методы: спектральный анализ, отображения Пуанкаре, вычисление фрактальной размерности.

Показатели Ляпунова и функции распределения. Вычисление показателя Ляпунова (5.4.3) можно рассматривать как усреднение по времени, или итерацию, отображения (5.4.5). Если известна функция плотности вероятности, позволяющая находить вероятность того, что определенные траектории окажутся в заданной области фазового пространства, то усреднение по времени можно заменить усреднением по пространству (в фазовом пространстве). Эту идею использовали несколько исследователей: Эверсон [35]; Хсу [84]. Покажем, в чем здесь дело, на примере двумерного отображения (следуя работе Эверсона [35]).

Напомним, что, когда система хаотична, по крайней мере один показатель Ляпунова у нее больше нуля. Начнем с расстояния между соседними траекториями . Это расстояние определяется величиной , и показатель Ляпунова равен

Если существует инвариантная функция распределения вероятности , то показатель может быть вычислен по формуле

(5.4.17)

где фазовое пространство предполагается двумерным с

Функция плотности вероятности удовлетворяет условию нормировки

где интеграл берется по всему фазовому пространству.

Эверсон применяет подход, основанный на использовании функции плотности вероятности, к отображению, связанному с задачей о прыгающем шарике (3.2.9) и со стандартным отображением (5.3.32)

(5.4.18)

Эта задача аналогична задаче, рассмотренной Холмсом [75], где учитывает диссипацию, соответствует скорости шарика, отскакивающего от платформы после соударения (см. рис. 3.5, а).

Эверсон использует два обстоятельства, для того чтобы применив к отображению (5.4.18) определение показателя (5.4.17), вычислить наибольший показатель Ляпунова. Во-первых, он замечает, что, судя по данным численного экперимента, инвариантная функция распределения не зависит от фазы в, поэтому в полярных координатах

Во-вторых, ему удается вывести приближенное выражение для отношения , показав, что при

(5.4.20)

т. е. не зависит от скорсти. С помощью соотношений (5.4.19) и (5.4.20) Эверсон вычисляет

(5.4.21)

что дает очень хорошее согласие с результатами численных расчетов.

Используя тот же подход в другой задаче, Хоу [84] исходит из определения (5.4.17), но находит функцию плотности вероятности численно с помощью так называемого отображения ячейки в ячейку (см. работы Хоу [83, 84] и Крейцера [96]). Дальнейшее развитие методов построения инвариантных функций распределения вероятности, возможно, приведет к более широкому применению их для нахождения показателей Ляпунова.