4.6. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ ПУАНКАРЕ

Построение отображения Пуанкаре — один из основных методов выявления хаотических колебаний в системах с небольшим числом степеней свободы (см. табл. 2.2). Напомним, что динамика вынужденных колебаний механического осциллятора или LRC-цепи с одной степенью свободы может быть описана в трехмерном фазовом пространстве.

Рис. 4.6. Вверху — моменты регистрации данных для отображения Пуанкаре приходятся на постоянную фазу возбуждающего сигнала; внизу — геометрическая интерпретация сечений Пуанкаре в трехмерном фазовом пространстве.

Таким образом, если — смещение, то представляет собой точку в фазовом пространстве с цилиндрической системой координат, где есть фаза периодического возбуждения. Отображение Пуанкаре такой системы состоит из цифровой выборки точек в трехмерном пространстве, например . Как обсуждалось в гл. 2, это отображение можно рассматривать как разрез тора (рис. 4.6).

Есть несколько способов таких построений в эксперименте. Если используется запоминающий осциллограф, то отображения Пуанкаре получаются посредством повышения яркости изображения на экране при определенных значениях фазы напряжения возбуждающего сигнала (иногда этот метод называется модуляцией по оси z) (рис. 4.1). В нашей лаборатории удавалось генерировать импульсы напряжения амплитудой 5—10 В и длительностью в те моменты, когда возбуждающий сигнал проходил определенные значения фазы, а именно:

(4.6.1)

Затем эти импульсы использовались для повышения яркости изображения на фазовой плоскости с помощью пары усилителей по вертикали, что позволило получить рис. 4.7.

Рис. 4.7. Пример экспериментального отображения Пуанкаре при периодическом возбуждении изогнутого стержня.

Можно также применить цифровой осциллограф в режиме внешнего определения частоты опроса с помощью того же узкого импульсного сигнала, который использовался в аналоговом осциллографе. Подобный метод можно использовать, применяя преобразователь аналогового сигнала в цифровой и храня результаты измерений в памяти компьютера для их отображения на более по зднем этапе. При этом важно, чтобы сигнал включения опроеа был в точности сфазирован с возбуждающим сигналом.

Отображения Пуанкаре: изменение фазы. Мы уже говорили в гл. 2, что хаотические траектории в фазовом пространстве частот можно распутать с помощью отображения Пуанкаре, строя набор изображений при разных фазах в соотношении (4.6.1) (рис. 4.8.) Это равносильно повороту плоскости Пуанкаре на рис. 4.6. Хотя для обнаружения фрактальной структуры аттрактора можно обойтись и одним отображением Пуанкаре, для получения полной характеристики аттрактора, на котором происходит движение, иногда приходится получать полный набор отображений с фазой изменяющейся от 0 до

Серия изображений различных сечений хаотического движения на разрушенном торе в трехмерном фазовом пространстве показана на рис. 4.8. Обратите внимание на симметрию отображений, полученных в частном случае изогнутого стержня (см. рис. 4.5) для фаз и 180°.

Отображения Пуанкаре: эффекты затухания. Если затухание в системе недостаточно сильно, точки хаотического аттрактора будут стремиться однородно заполнить некоторую область фазового пространства и структура канторовского множества, характерная для странного аттрактора, не проявится. На рис. 2.11 показан пример такой ситуации при колебаниях изогнутого стержня. Сравнение отображений Пуанкаре, полученных при слабом и сильном затухании, показывает, что иногда усиление затухания может вызвать по явление фрактальной структуры.

Рис. 4.8. Отображения Пуанкаре на хаотическом аттракторе изогнутого стержня при разных фазах возбуждающего сигнала.

В то же время если затухание слишком сильно, слои канторовского множества могут оказаться стягивающимися в линию. Влияние затуханий на отображения Пуанкаре и фрактальную размерность обсуждается в гл. 6.

Отображения Пуанкаре: квазипериодические колебания. Часто то, что кажется хаотичным, вполне может быть просто суперпозицией двух гармонических движений с несоизмеримыми частотами, например

(4.6.2)

где — иррациональное число.

Рис. 4.9. Отображение Пуанкаре для движения, состоящего из двух гармонических колебаний с разными частотами.

Выборка для построения отображения Пуанкаре может быть задана по одной из этих частот, например . Тогда точки фазового пространства заполнят замкнутую линию эллиптической формы (рис. 4.9). Если отношение рационально, то отображение Пуанкаре будет иметь вид конечного набора точек. Случай иррационального можно рассматривать как движение на торе, т.е. фигуре в форме бублика в трехмерном фазовом пространстве.

Если в движении присутствуют три или более несоизмеримых частоты, то мы можем не увидеть аккуратной замкнутой кривой отображения Пуанкаре, и следует обратиться к спектру Фурье. С помощью фурье-спектра сигнала можно также обнаружить разницу между хаотическим и квазипериодическим движениями. Квазипериодическому движению будет соответствовать несколько хорошо выраженных пиков, подобных показанным на рис. 4.10.

Рис. 4.10. Спектр Фурье электрического сигнала, полученного в эксперименте с цепью с нелинейной индуктивностью [18] (The American Physical Society, © 1984). Частотные компоненты представляют собой линейные комбинации двух частот.

Хаотические сигналы часто имеют широкий спектр фурье-компонент, показанный на рис. 2.7.