ЗАДАЧИ С ПОТЕНЦИАЛОМ В ВИДЕ ДВОЙНОЙ ЯМЫ

Модель вынужденных колебаний изогнутого стержня была построена Холмсом [73] на основе уравнения типа Дуффинга. С помощью аналогового моделирования им доказана возможность хаотических колебаний этой системы.

Рис. 3.6. Хаотические колебания периодически возбуждаемого изогнутого стержня — сравнение аналоговых численных расчетов и экспериментальных данных [141].

В безразмерном виде полученное Холмсом уравнение таково:

(3.2.10)

где — поперечное смещение стержня, который описывается простой одномодовой моделью. Это уравнение может также служить моделью частицы в потенциале из двух ям (см. рис. 1.3). Эта модель использовалась и при исследовании плазменных колебаний (см., например, [122]). Аналоговые хаотические решения показаны на рис. 3.б. Экспериментальная реализация этой модели обсуждалась в гл. 2. Фурье-преобразования решений этого уравнения (см. рис. 2.7) имеют непрерывный спектр частот, что характерно для хаотического движения. На рис. 3.7 показано отображение Пуанкаре соответствующего странного аттрактора. Фрактальные размерности хаотических решений обсуждаются в последующих главах. Результаты численных исследований задач с двумя потенциальными ямами опубликованы также в работах [31, 143, 144, 201].

К этим примерам близка задача о провале арки с шарниром, вызванном колебаниями (рис. 3.8) [23]. Это явление описывается уравнением

Если сохранить только кубичные нелинейности, то это уравнение принимает вид (3.2.10), характерный для осциллятора Дуффинга с двумя потенциальными ямами.

Рис. 3.7. Отображение Пуанкаре для хаотического решения уравнения (3.2.10), описывающего вынужденные колебания в двух потенциальных ямах; на рисунке точек.

Рис. 3.8. Схема арки с шарниром. Вынужденные колебания, сопровождающиеся провалами арки, могут происходить в хаотическом режиме (23].

Хаотические движения упруго-пластичной арки исследованы в работе [155].