ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ

Динамика — старейший раздел физики. И тем не менее через 300 лет после публикации Principia Ньютона (1687) появляются все новые открытия. Появившиеся за это время идеи Эйлера, Лагранжа, Гамильтона и Пуанкаре, родившись в небесной механике, проникли теперь во все области физики. Так же как новая наука, динамика, породила в XVII в. дифференциальное исчисление, в наше время нелинейная динамика ввела в обиход такие новые идеи геометрии и топологии как фракталы, без освоения которых ученому XX в. не удастся полностью понять предмет исследований.

Идеями хаоса западная мысль обязана еще древним грекам. Сами эти идеи сводились к объяснению порядка в том мире, который возник из первобытного мира — бесформенного, хаотичного и неупорядоченного. Но уже в восточной мысли, в частности, в даосизме (по словам Г. Майер-Кресса [131] из Лос-Аламосской национальной лаборатории), хаос ассоциируется со структурами, вложенными в структуры, вихрями, вложенными в вихри, как это происходит, например, в течении жидкостей (см. также рисунок на японском кимоно, показанный на рис. 1.26).

Рис. 1.26. Рисунок на японском кимоно подобен фрактальной структуре (воспроизводится с любезного разрешения Mitsubishi Motor Corp.).

Вплоть до последнего десятилетия XX в. в динамике преобладало представление, что порядок возникает из окружающего бесформенного хаоса, и этот порядок узнается лишь по предсказуемой периодической структуре. Теперь эту точку зрения вытесняет другая концепция хаотических явлений. Они возникают согласно регулярным законам и за ними стоит не бесформенный хаос, но хаос с сокрытым порядком, фрактальными структурами. На пути этого изменения парадигм мы руководствуемся новыми математическими представлениями нашего «упорядоченного» мира.

(страница отсутствует)

В последующих главах мы обсудим более сложные методы, в том числе измерение двух характеристик движения, именно фрактальной размерности и показателя Ляпунова.

Ниже мы разберем все пункты представленного списка и опишем признаки хаотических колебаний. Чтобы конкретизировать обсуждение, для иллюстрации признаков хаотической динамики выбраны колебания изогнутого стержня (задача с парой потенциальных ям).

Для диагностики хаотических колебаний необходимо ясное определение такого движения. Однако по мере того, как новые исследования раскрывают новые сложности нелинейной динамики, строгие определения оказываются ограниченными определенными классами математических задач. Это создает трудности для экспериментатора, поскольку его цель — выяснить, какая математическая модель наилучшим образом описывает данные. Поэтому на данном этапе развития этой науки мы используем одновременно ряд диагностических критериев и рассматриваем различные классы хаотических движений (см. табл. 2.1).

Таблица 2.1. Классы движений в нелинейных детерминированных системах

Предсказуемое регулярное движение: периодические колебания, квазипериодическое движение; нечувствительно к изменениям параметров и начальных условий

Непредсказуемое регулярное движение: множественные регулярные аттракторы (допустим более чем один тип периодического движения); длительное движение чувствительно к начальным условиям Переходный хаос: движения, которые кажутся хаотическими и имеют характерные для странного аттрактора свойства (обнаруживаемые по отображению Пуанкаре), но в конце концов вырождаются в регулярное движение Перемежаемый хаос: периоды регулярного движения, прерываемого переходными вспышками хаотического движения; длительность периодов регулярного движения непредсказуема

Ограниченный или узкополосный хаос: хаотические движения, орбиты которых проходят в фазовом пространстве вблизи от орбит некоторых периодических или регулярных движений; их спектры часто обнаруживают небольшое или ограниченное уширение определенных частотных компонент

Слабый крупномасштабный или широкополосный хаос: динамические процессы можно охарактеризовать с помощью орбит в фазовом пространстве малого числа измерений (от 1 до 3 мод в механических системах) и обычно удается измерить фрактальную размерность, которая оказывается меньшей 7; хаотические орбиты охватывают обширные области фазового пространства; спектры состоят из широкого набора частот, особенно меньших частоты возбуждения (если последнее присутствует)

Сильный крупномасштабный хаос: динамические свойства можно описать только в фазовом пространстве очень большого числа измерений; присутствует большое число существенных степеней свободы; трудно получить надежную оценку фрактальной размерности; до сих пор не существует динамической теории явления

Экспериментаторам рекомендуется применять по два и более тестов, чтобы получить адекватную картину хаоса.

Чтобы помочь разобраться в растущем числе определений и классов хаотических движений, мы перечислим наиболее распространенные признаки без математических формул, но с указанием в скобках наиболее приемлемого диагностического метода.