ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ ЧАСТИЦЫ В ПОТЕНЦИАЛЕ С ДВУМЯ ЯМАМИ: УРАВНЕНИЕ ДУФФИНГА
Этот пример был очень подробно рассмотрен в гл. 2 и 3. Впервые он был исследован в работе Холмса [73] и в последующей серии работ автора этой книги и сотрудников.
С математической точки зрения речь идет об уравнении вынужденного движения частицы между двумя состояними равновесия — минимумами потенциала с двумя ямами:
(5.2.2)
Это уравнение может описывать движение частицы в плазме, дефекта в твердом теле или, в большем масштабе, динамику продольного изгиба балки (см. гл. 3). Динамикой управляют три безразмерных параметра
, где
— безразмерный коэффициент затухания, а
— вынуждающая частота, обезразмеренная с помощью частоты собственных малых колебаний системы в одной из потенциальных ям.
Области хаоса, полученные двумя группами исследователей представлены на рис. 5.2 и 5.3. На рис. 5.2 представлены экспериментальные данные для продольно изогнутой консольной балки (см. гл. 2). Ломаная граница соответствует экспериментальным данным, гладкая — теоретическому критерию (см. разд. 5.3). Недавно была экспериментально установлена верхняя граница, за которой движение снова становится периодическим. Экспериментальный критерий определялся по отображениям Пуанкаре для движения (см. гл. 2 и 4).
Результаты численного моделирования уравнения (5.2.2) представлены на рис. 5.3.
Рис. 5.2. Области хаоса на диаграмме, построенной по данным эксперимента — колебаниям продольно изогнутой балки при различных амплитудах и частотах вынуждающей силы [137]. Воспроизводится с разрешения из сб.: New Approaches Nonlinear Problems in Dynamics, ed. by P. S. Holmes, © 1980 by SIAM.)
Рис. 5.3. Диаграмма, показывающая области хаоса для колебаний материальной точки в потенциале с двумя ямами [уравнение Дуффинга (3.2.2)]. Гладкая граница соответствует критерию гомоклинической траектории (разд. 5.3.).
Диагностическим средством для определения носа был выбран показатель Ляпунова, вычисляемый с помощью алгоритма разработанного Вулфом и др. [209] (см. разд. 5.4). Из
видно, что на плоскости
при заданном коэффициенте затухания b существуют области хаотических колебаний очень сложной конфигурации. Можно ожидать, что при очень большой вынуждающей силе
динамический режим будет конкурировать с режимом, который наблюдал Уэда.
Теоретическую границу, полученную Холмсом [73], мы обсудим в следующем разделе. Она имеет особое значение, так как ниже ее предсказуемы периодические движения, в то время как выше предсказать, на какую из многих периодических или хаотических мод выйдем движение, становится невозможно. Выше теоретического критерия (основанного на существовании гомоклинических орбит) движение, даже если оно периодическое, очень чувствительно к выбору начальных данных.