Главная > Хаотические колебания
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ ЧАСТИЦЫ В ПОТЕНЦИАЛЕ С ДВУМЯ ЯМАМИ: УРАВНЕНИЕ ДУФФИНГА

Этот пример был очень подробно рассмотрен в гл. 2 и 3. Впервые он был исследован в работе Холмса [73] и в последующей серии работ автора этой книги и сотрудников.

С математической точки зрения речь идет об уравнении вынужденного движения частицы между двумя состояними равновесия — минимумами потенциала с двумя ямами:

(5.2.2)

Это уравнение может описывать движение частицы в плазме, дефекта в твердом теле или, в большем масштабе, динамику продольного изгиба балки (см. гл. 3). Динамикой управляют три безразмерных параметра , где — безразмерный коэффициент затухания, а — вынуждающая частота, обезразмеренная с помощью частоты собственных малых колебаний системы в одной из потенциальных ям.

Области хаоса, полученные двумя группами исследователей представлены на рис. 5.2 и 5.3. На рис. 5.2 представлены экспериментальные данные для продольно изогнутой консольной балки (см. гл. 2). Ломаная граница соответствует экспериментальным данным, гладкая — теоретическому критерию (см. разд. 5.3). Недавно была экспериментально установлена верхняя граница, за которой движение снова становится периодическим. Экспериментальный критерий определялся по отображениям Пуанкаре для движения (см. гл. 2 и 4).

Результаты численного моделирования уравнения (5.2.2) представлены на рис. 5.3.

Рис. 5.2. Области хаоса на диаграмме, построенной по данным эксперимента — колебаниям продольно изогнутой балки при различных амплитудах и частотах вынуждающей силы [137]. Воспроизводится с разрешения из сб.: New Approaches Nonlinear Problems in Dynamics, ed. by P. S. Holmes, © 1980 by SIAM.)

Рис. 5.3. Диаграмма, показывающая области хаоса для колебаний материальной точки в потенциале с двумя ямами [уравнение Дуффинга (3.2.2)]. Гладкая граница соответствует критерию гомоклинической траектории (разд. 5.3.).

Диагностическим средством для определения носа был выбран показатель Ляпунова, вычисляемый с помощью алгоритма разработанного Вулфом и др. [209] (см. разд. 5.4). Из видно, что на плоскости при заданном коэффициенте затухания b существуют области хаотических колебаний очень сложной конфигурации. Можно ожидать, что при очень большой вынуждающей силе динамический режим будет конкурировать с режимом, который наблюдал Уэда.

Теоретическую границу, полученную Холмсом [73], мы обсудим в следующем разделе. Она имеет особое значение, так как ниже ее предсказуемы периодические движения, в то время как выше предсказать, на какую из многих периодических или хаотических мод выйдем движение, становится невозможно. Выше теоретического критерия (основанного на существовании гомоклинических орбит) движение, даже если оно периодическое, очень чувствительно к выбору начальных данных.

1
Оглавление
email@scask.ru