6. ФРАКТАЛЬНЫЕ ПОНЯТИЯ В НЕЛИНЕЙНОЙ ДИНАМИКЕ

Видите, мои братья и сестры?

Это не хаос, не смерть —

это порядок, единство, план —

это вечная жизнь, это Счастье.

Уолт Уитмен. Листья травы

6.1. ВВЕДЕНИЕ

Для описания непериодических движений, напоминающих по сложности случайные (а именно таким движениям посвящена наша книга), мы использовали термины «хаотический» и «странный» аттрактор. Называя аттрактор хаотическим, мы подчеркиваем потерю информации или предсказуемости. Называя аттрактор странным, мы прежде всего стремимся подчеркнуть необычность геометрической структуры, по которой движется траектория в фазовом пространстве. В гл. 5, используя показатели Ляпунова, мы описали количественную меру хаотичности, или потери информации. В этой главе мы опишем количественную меру странности аттрактора. Эта мера называется фрактальной размерностью. Но прежде чем мы займемся фрактальной размерностью, нам необходимо ввести понятие фрактала в таком виде, чтобы его было удобно использовать для наших целей.

Выяснилось, что фрактальные понятия применимы не только в описанию структуры динамического аттрактора: в ходе исследований хаоса было установлено, что и другие геометрические объекты, такие, как граница между хаотическими и периодическими движениями в пространстве начальных условий или параметров, также обладают фрактальными свойствами. Учитывая это, мы посвятили специальный раздел фрактальным границам области притяжения.

В начале этой книги мы отмечали, что революция в нелинейной динамике была вызвана введением новых геометрических аналитических и топологических идей, вооруживших экспериментаторов (к числу которых мы относим не только тех, кто проводит физические эксперименты, но и тех, кто занимается численным экспери

(страница пропущена)

Рис. 6.1. Фрагмент построения фрактальной кривой Кох.

Таким образом, мы остаемся с 4 звеньями длиной 1/3 каждое, поэтому общая длина ломаной составляет 4/3. Чтобы построить фрактальную кривую, повторим этот процесс на каждом звене ломаной еще и еще раз. После многих повторений ломаная станет очень извилистой. В пределе при бесконечно большом числе шагов мы получаем непрерывную, нигде не дифференцируемую кривую. В некотором смысле эта кривая напоминает «каракули» которыми маленький ребенок покрывает лист бумаги, если дать ему карандаш. Перед нами парадокс: непрерывная кривая с ненуле вой «площадью». Не удивительно поэтому, что для такой кривой можно определить фрактальную размерность, и эта величина оказывается заключенной в интервале от 1 до 2.