ДИСКРЕТИЗАЦИЯ ПЕРЕМЕННЫХ В ФАЗОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ

Предположим, что мы знаем (или подозреваем) о существовании у хаотической системы аттрактора в трехмерном фазовом пространстве с физическими переменными . Например, в случае вынужденного движения балки или частицы в потенциале с двумя ямами (см. гл. 2) х — положение, — скорость, — фаза периодической вынуждающей силы. При дискретизации речь идет о выборке временных значений через интервал, который должен быть меньше периода вынуждаю шей силы. Каждому интервалу времени соответствует точка в фазовом пространстве.

Для вычисления усредненной поточечной размерности выбирают случайным образом несколько точек Для каждой выбранной точки вычисляют расстояния до ближайших окружающих точек (Обращаем внимание читателей на то, что речь идет о точках, ближайших во времени, а не в пространстве.) Использовать евклидову меру расстояния не обязательно. Например, можно воспользоваться суммой абсолютных величин компонент вектора , т. е.

(6.3.1)

Затем подсчитывают число точек в шаре, кубе или другом геометрическом теле (или фигуре) размера и находят вероятность как функцию параметра :

(6.3.2)

где — общее число точек в выборке, Н — функция Хевисайда при при . Усредненная поточечная размерность по определению (6.2.3) есть величина

(6.3.3)

где предел в формуле для существует. Для некоторых аттракторов вероятность зависит от не по степенному закону, а разрывно или имеет изломы. В этих случаях можно вычислять модифицированную поточечную размерность, предварительно усредняя («сглаживая») Например, можно выбрать

и

Эта размерность аналогична корреляционной размерности, которую мы рассматривали в предыдущем разделе.

На рис. 6.8 а, б представлена зависимость корреляционной размерности от на примере потенциала с двумя ямами (3.2.2). Размерность определялась по результатам численного эксперимента с уравнениями значения и со были выбраны в хаотической области. На рис. 6.8 а показана зависимость логарифма корреляционной функции, а на рис. 6.8, б — локального углового коэффициента от логарифма поперечника элемента покрытия. При средних значениях локальный угловой коэффициент колеблется вблизи значения 23. Это согласуется с тем, что аттрактор существует в трехмерном пространстве

Рис. 6.8 а. log С как функция от для хаотического движения в потенциале с двумя ямами (3.3.6). Данные получены при численном интегрировании.

Рис. 6.8. б. Локальный угловой коэффициент кривой рис. 6.8 а обнаруживает фрактальную размерность в окрестности значения 2,5.

На практике точек, Число подбирают опытным путем, начиная с какого-нибудь малого значения и постепенно увеличивая его до тех пор, пока d не достигает предела.

Выбор с также требует известной осмотрительности. Верхний предел значений с гораздо меньше максимальной величины аттрактора, но достаточно велик, чтобы «ухватить» крупномасштабную структуру в окрестности точки . Наименьшее значение с должно быть таким, чтобы сфера радиуса или куб с ребром содержали по крайней мере одну выборочную точку. Например, в трехмерном фазовом пространстве, если средний глобальный масштаб аттрактора равен L, то средняя плотность точек составляет величину

поэтому объем, связанный с масштабом , должен быть больше, чем , или

Другим ограничением на минимальную величину является уровень «реального шума», или неопределенность в измерениях переменных состояния (х, у, z). В любом реальном эксперименте существует сфера неопределенности, окружающая каждую измеренную точку в фазовом пространстве. Когда становится радиусом этой сферы, рассмотренная выше теория фрактальной размерности, строго говоря, становится неприменимой, так как при меньших нельзя ожидать самоподобной структуры.