Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
ФРАКТАЛЬНАЯ РАЗМЕРНОСТЬМы успели ознакомиться с 2 примерами фрактальных множеств, но не располагаем пока ни одним критерием для того, чтобы определять, фрактально ли то или иное точечное множество. Для классификации природы отображения Пуанкаре некоторых нелинейных систем нам также необходима какая-то количественная мера фрактальной природы аттрактора. Размерность точечного множества можно определить многими способами. Мы опишем весьма наглядное, или геометрическое, определение размерности, называемой емкостью. Другие определения, связанные с более глубокими математическими тонкостями» читатель может найти у Мандельброта [124], Фармера и др. [36] или в следующем разделе. Начнем с размерности множества точек, расположенных вдоль некоторой линии или распределенных по какой-то части плоскости. Прежде всего рассмотрим равномерное распределение Если говорить точнее, то мы хотим вычислить минимальное число таких кубов
Аналогично, если точки распределить равномерно по двумерной поверхности в трехмерном пространстве, то минимальное число
Рис. 6.4. Покрытие для линейного и плоского распределения точек. (пропущена страница) Одна из возможных интерпретаций фрактальной размерности кривой Кох сводится к утверждению о том, что распределение точек покрывает больше чем линию, но меньше чем двумерную фигуру. Двумя другими примерами множеств, для которых удается точно вычислить фрактальную размерность, служат множества, возникающие при отображении «подкова» и преобразовании пекаря. Отображение типа подковы было подробно рассмотрено в гл. 1 и 5. Наглядно оно представлено на рис. 6.5. По-видимому, это простейший пример итеративного динамического процесса на плоскости, который ведет к потере информации и фрактальным свойствам. Вычисление емкостной фрактальной размерности для отображения типа подковы производится по аналогии с тем, как это было сделано в случае канторовского множества, за исключением того, что вертикальное направление дает вклад в размерность, равный 1. Используя определение (6.1.2), можно показать, что
где Другим примером, в котором фрактальные свойства удается рассчитать аналитически, служит двумерное отображение, известное под названием преобразование пекаря. Описание его можно найти у Фармера и др. [36]. Это отображение аналогично отображению типа подковы (рис. 6.5). Свое название двумерное отображение, о котором идет речь, получило потому, что оно напоминает операции, производимые пекарем с куском теста: раскатывание, растягивание, разрезание и перекладывание (рис. 6.6). В этом примере удается выписать в явном виде разностное уравнение, связывающее старое положение
где
Рис. 6.5. Отображение «подкова». Статья Фармера и др. [36] написана весьма доступно, и поэтому мы не будем входить здесь в детали, а ограничимся изложением результатов. Фармер и его соавторы воспользовались задачей, чтобы продемонстрировать различия между несколькими определениями фрактальной размерности. Они ввели следующую функцию:
Используя определение емкости множества, показали, что
где
при
Рис. 6.6. Преобразование (или отображение) пекаря. Величина Художники, по-видимому, интуитивно понимают природу фрактальных множеств. Это в особенности относится к импрессионистам, которые с помощью цветных маяков - точек создают различные эффекты заполнения евклидова пространства. Можно привести и более свежий пример: фрактальные свойства отчетливо видны на рекламном рисунке ткани для кимоно работы одного японского художника, помещенном в популярном журнале (рис. 1.26).
|
1 |
Оглавление
|