Главная > Хаотические колебания
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

ФРАКТАЛЬНАЯ РАЗМЕРНОСТЬ

Мы успели ознакомиться с 2 примерами фрактальных множеств, но не располагаем пока ни одним критерием для того, чтобы определять, фрактально ли то или иное точечное множество. Для классификации природы отображения Пуанкаре некоторых нелинейных систем нам также необходима какая-то количественная мера фрактальной природы аттрактора.

Размерность точечного множества можно определить многими способами. Мы опишем весьма наглядное, или геометрическое, определение размерности, называемой емкостью. Другие определения, связанные с более глубокими математическими тонкостями» читатель может найти у Мандельброта [124], Фармера и др. [36] или в следующем разделе. Начнем с размерности множества точек, расположенных вдоль некоторой линии или распределенных по какой-то части плоскости.

Прежде всего рассмотрим равномерное распределение точек вдоль некоторой линии, или одномерного многообразия в трехмерном пространстве (рис. 6.4). Спросим себя, каким образом можно покрыть это множество точек малыми кубами с ребром длиной . (Вместо кубов можно взять сферы радиуса .)

Если говорить точнее, то мы хотим вычислить минимальное число таких кубов , покрывающих наше множество Если число велико, то число кубов, покрывающих линию, будет изменяться в зависимости от как

Аналогично, если точки распределить равномерно по двумерной поверхности в трехмерном пространстве, то минимальное число

Рис. 6.4. Покрытие для линейного и плоского распределения точек.

(пропущена страница)

Одна из возможных интерпретаций фрактальной размерности кривой Кох сводится к утверждению о том, что распределение точек покрывает больше чем линию, но меньше чем двумерную фигуру.

Двумя другими примерами множеств, для которых удается точно вычислить фрактальную размерность, служат множества, возникающие при отображении «подкова» и преобразовании пекаря.

Отображение типа подковы было подробно рассмотрено в гл. 1 и 5. Наглядно оно представлено на рис. 6.5. По-видимому, это простейший пример итеративного динамического процесса на плоскости, который ведет к потере информации и фрактальным свойствам.

Вычисление емкостной фрактальной размерности для отображения типа подковы производится по аналогии с тем, как это было сделано в случае канторовского множества, за исключением того, что вертикальное направление дает вклад в размерность, равный 1. Используя определение (6.1.2), можно показать, что

где — параметр сжатия и работу Берже и др. [11], где подробно обсуждается этот пример.

Другим примером, в котором фрактальные свойства удается рассчитать аналитически, служит двумерное отображение, известное под названием преобразование пекаря. Описание его можно найти у Фармера и др. [36]. Это отображение аналогично отображению типа подковы (рис. 6.5). Свое название двумерное отображение, о котором идет речь, получило потому, что оно напоминает операции, производимые пекарем с куском теста: раскатывание, растягивание, разрезание и перекладывание (рис. 6.6). В этом примере удается выписать в явном виде разностное уравнение, связывающее старое положение «куска теста» с его новым положением через одну итерацию:

где

Рис. 6.5. Отображение «подкова».

Статья Фармера и др. [36] написана весьма доступно, и поэтому мы не будем входить здесь в детали, а ограничимся изложением результатов. Фармер и его соавторы воспользовались задачей, чтобы продемонстрировать различия между несколькими определениями фрактальной размерности. Они ввели следующую функцию:

(6.1.7)

Используя определение емкости множества, показали, что

(6.1.8)

где удовлетворяет трансцендентному уравнению

(6.1.9)

при имеем

Рис. 6.6. Преобразование (или отображение) пекаря.

Величина не зависит от а и совпадает с аналогичной размерностью для отображения типа подковы .

Художники, по-видимому, интуитивно понимают природу фрактальных множеств. Это в особенности относится к импрессионистам, которые с помощью цветных маяков - точек создают различные эффекты заполнения евклидова пространства. Можно привести и более свежий пример: фрактальные свойства отчетливо видны на рекламном рисунке ткани для кимоно работы одного японского художника, помещенном в популярном журнале (рис. 1.26).

1
Оглавление
email@scask.ru