ФРАКТАЛЬНАЯ РАЗМЕРНОСТЬ

Мы успели ознакомиться с 2 примерами фрактальных множеств, но не располагаем пока ни одним критерием для того, чтобы определять, фрактально ли то или иное точечное множество. Для классификации природы отображения Пуанкаре некоторых нелинейных систем нам также необходима какая-то количественная мера фрактальной природы аттрактора.

Размерность точечного множества можно определить многими способами. Мы опишем весьма наглядное, или геометрическое, определение размерности, называемой емкостью. Другие определения, связанные с более глубокими математическими тонкостями» читатель может найти у Мандельброта [124], Фармера и др. [36] или в следующем разделе. Начнем с размерности множества точек, расположенных вдоль некоторой линии или распределенных по какой-то части плоскости.

Прежде всего рассмотрим равномерное распределение точек вдоль некоторой линии, или одномерного многообразия в трехмерном пространстве (рис. 6.4). Спросим себя, каким образом можно покрыть это множество точек малыми кубами с ребром длиной . (Вместо кубов можно взять сферы радиуса .)

Если говорить точнее, то мы хотим вычислить минимальное число таких кубов , покрывающих наше множество Если число велико, то число кубов, покрывающих линию, будет изменяться в зависимости от как

Аналогично, если точки распределить равномерно по двумерной поверхности в трехмерном пространстве, то минимальное число

Рис. 6.4. Покрытие для линейного и плоского распределения точек.

(пропущена страница)

Одна из возможных интерпретаций фрактальной размерности кривой Кох сводится к утверждению о том, что распределение точек покрывает больше чем линию, но меньше чем двумерную фигуру.

Двумя другими примерами множеств, для которых удается точно вычислить фрактальную размерность, служат множества, возникающие при отображении «подкова» и преобразовании пекаря.

Отображение типа подковы было подробно рассмотрено в гл. 1 и 5. Наглядно оно представлено на рис. 6.5. По-видимому, это простейший пример итеративного динамического процесса на плоскости, который ведет к потере информации и фрактальным свойствам.

Вычисление емкостной фрактальной размерности для отображения типа подковы производится по аналогии с тем, как это было сделано в случае канторовского множества, за исключением того, что вертикальное направление дает вклад в размерность, равный 1. Используя определение (6.1.2), можно показать, что

где — параметр сжатия и работу Берже и др. [11], где подробно обсуждается этот пример.

Другим примером, в котором фрактальные свойства удается рассчитать аналитически, служит двумерное отображение, известное под названием преобразование пекаря. Описание его можно найти у Фармера и др. [36]. Это отображение аналогично отображению типа подковы (рис. 6.5). Свое название двумерное отображение, о котором идет речь, получило потому, что оно напоминает операции, производимые пекарем с куском теста: раскатывание, растягивание, разрезание и перекладывание (рис. 6.6). В этом примере удается выписать в явном виде разностное уравнение, связывающее старое положение «куска теста» с его новым положением через одну итерацию:

где

Рис. 6.5. Отображение «подкова».

Статья Фармера и др. [36] написана весьма доступно, и поэтому мы не будем входить здесь в детали, а ограничимся изложением результатов. Фармер и его соавторы воспользовались задачей, чтобы продемонстрировать различия между несколькими определениями фрактальной размерности. Они ввели следующую функцию:

(6.1.7)

Используя определение емкости множества, показали, что

(6.1.8)

где удовлетворяет трансцендентному уравнению

(6.1.9)

при имеем

Рис. 6.6. Преобразование (или отображение) пекаря.

Величина не зависит от а и совпадает с аналогичной размерностью для отображения типа подковы .

Художники, по-видимому, интуитивно понимают природу фрактальных множеств. Это в особенности относится к импрессионистам, которые с помощью цветных маяков - точек создают различные эффекты заполнения евклидова пространства. Можно привести и более свежий пример: фрактальные свойства отчетливо видны на рекламном рисунке ткани для кимоно работы одного японского художника, помещенном в популярном журнале (рис. 1.26).