5. КРИТЕРИИ ВОЗНИКНОВЕНИЯ ХАОТИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ
Но вы спросите, каким образом однородный хаос мог сгуститься, сначала нерегулярно, в неоднородные жилы или массы, дабы образовать холмы. Укажите мне причины этого, и ответ, возможно, послужит для хаоса.
Исаак Ньютон. О Сотворении (из письма, написанного охоло 1681 г.).
5.1. ВВЕДЕНИЕ
В этой главе мы исследуем, каким образом параметры динами ческой системы определяют, будет ли ее движение хаотическим или регулярным. Задача нахождения критических значений параметров, при которых происходит смена режимов движения, аналогична на. хождению критической скорости вязкого течения жидкостей, выше которой ламинарное течение переходит в турбулентное. Эта скорость, нормированная умножением на характерную длину и делением на кинематическую вязкость жидкости, известна под названием числа Рейнольдса 
Инженерам и физикам более столетия не удавалось получить надежное теоретическое значение 
и для многих задач гидромеханики 
приходится определять экспериментально. Точно так же, экспериментально или с помощью численного моделирования, устанавливают критерии возникновения хаоса а механических и электрических системах. Для таких систем поиа критических парамеров возникновения детерминированного хаоса требует усилий как экспериментаторов, так и теоретиков.
Хотя экспериментально подтверждаемых теорий возникновение хаотических колебаний существует не так много, все же теоретикам удалось добиться некоторых значительных успехов и наметить несколько общих направлений дальнейших исследований.
Критерии возникновения хаоса в физических системах подразделяются на два типа: на прогностические правила, позволяющие предсказывать возникновение хаоса, и на диагностические средства, позволяющие устанавливать наличие или отсутствие хаоса.
Прогностическим правилом для предсказания возникновения хаотических колебаний мы называем такой критерий, который определяет совокупность входных или управляющих параметров, приводящую к хаосу.
Способность предсказывать возникновение хаоса в физической системе означает, что мы располагаем либо приближенной математической моделью системы, из которой может быть доведен критерий, либо экспериментальными данными, полученными на основе многочисленных испытаний.
Диагностическим критерием возникновения хаотических колебаний мы называем тест, который по результатам измерений или обработки данных позволяет определить, находилась или находится ЛИ конкретная исследуемая система в состоянии хаотической динамики.
Мы начнем с обзора экспериментально установленных критериев для конкретных физических систем и математических моделей, в которых возникают хаотические колебаний (разд. 5.2). Эти критерии были установлены с помощью физических, и численных экспериментов. Мы рассматриваем такие случаи по двум причинам. Во-первых, для того, кто делает первые шаги в излучении хаотических колебаний, полезно ознакомиться с несколькими системами, допускающими хаотическое поведение, и выяснить, при каких условиях возникает хаос. Такие простые случаи позволяют разобраться в условиях возникновения хаоса в более сложных системах. Во-вторых, при разработке теоретических критериев важно иметь некий тест для сравнения теории с экспериментом.
В разд. 5.3 мы дадим обзор основных прогностических моделей, позволяющих предсказывать возникновение хаоса. К их числу относится критерий удвоения периода, критерий существования гомоклинической траектории и критерий Чирикова перекрытия резонансов для консервативного хаоса, а также критерии перемежаемости я переходного хаоса. Кроме того, мы перечислим несколько частных критериев, которые были разработаны для определенных классов задач.
Наконец, в разд. 5.4 мы рассмотрим одну важную диагностическую характеристику, а именно показатель Ляпунова. Другую диагностическую характеристику — фрактальную размерность — мы опишем в гл. 6.
