ЭВОЛЮЦИЯ НА ФАЗОВОЙ ПЛОСКОСТИ

Рассмотрим одномерное движение массы, смешение которой обозначено через , а скорость — через v(t). Как следует из второго закона Ньютона, уравнение ее движения можно записать в виде

где — масса, а — приложенная сила. Фазовая плоскость определяется как множество точек (Иногда вместо скорости v используется импульс ) Когда движение периодично (рис. 2.4, а), его орбита описывает в фазовой плоскости замкнутую кривую, которую лучше всего наблюдать с помощью аналогового осциллографа. Например, вынужденные колебания системы из линейной пружины, массы и демпфера описываются орбитой эллиптической формы. Вынужденные колебания нелинейной системы с кубичным упругим элементом могут иметь орбиту с самопересечениями, но тем не менее замкнутую. В этом случае следует ожидать присутствия субгармоник.

Системы, в которых сила не зависит от времени явно, например в уравнениях (2.1), называются автономными. Периодические движения в автономных системах (в отсутствие гармонических внешних воздействий) называются предельными циклами; на фазовой плоскости они также изображаются замкнутыми орбитами (см. гл. 1).

Напротив, орбиты хаотических движений никогда не бывают замкнутыми, не повторяются. Такие орбиты стремятся заполнить некоторую область фазового пространства, как показано на рис. 2.4, б. Хотя подобное блуждание орбит указывает на хаос, непрерывные графики на фазовой плоскости малоинформативны, и следует использовать более совершенный метод исследования фазовых портретов, называемый отображением Пуанкаре (см. ниже).

Часто имеются измерения только одной величины Если — это скорость, то ее можно проинтегрировать, чтобы получить и составить фазовый портрет из точек

(см. скан)

Рис. 2.4. а — Вынужденное движение с периодом 2 продольно изогнутого стержня, изображенное на фазовой плоскости (скорость деформации как функция изгибной деформации); б — хаотическая траектория вынужденного движения продольно изогнутого стержня.

С другой стороны, если приходится дифференцировать сигнал имеющий смысл смещения или деформации, то часто появляется высокочастотный шум. Тогда мы советуем экспериментатору перед дифференцированием пропустить сигнал через хороший фильтр пропускания нижних частот (см. гл. 4).

Методы псевдофазового пространства. Другой метод, который используется, если измерена только одна переменная, — это метод псевдофазового пространства с временной задержкой (также называемый методом объемлющего пространства). Для системы с одной степенью свободы, в которой измерена величина строится зависимость сигнала от его же величины в другой момент времени, отстающий или опережающий данный момент на постоянную величину: . Идея заключается в том, что сигнал связан и результат должен иметь те же свойства, что и при использовании истинной фазовой плоскости . На рис. 2.5 показаны орбиты осциллятора Дуффинга на псевдофазовой плоскости при различных временных задержках.

Рис. 2.5 а. Траектория осциллятора Дуффинга (1.2.4) на фазовой плоскости при

Рис. 2.5 б. Траектория того же периодического движения, изображенная на псевдофазовой плоскости для двух значений времени задержки.

Если движение хаотично, то траектории не замыкаются (рис. 2.6). Выбор величины Т несуществен, следует только избегать естественного периода системы. Когда в системе больше двух переменных, описывающих состояние (координата, скорость и время или фаза внешней силы), с помощью нескольких задержек можно построить траектории в псевдофазовом пространстве большего числа измерений. Например, трехмерное пространство можно построить с помощью вектора с компонентами . Мы еще вернемся к этому методу в гл. 4.