КОНСЕРВАТИВНЫЙ ХАОС
Хотя в последнее время активность в области нелинейной динамики связана преимущественно с хаосом в диссипативных системах, уже немалое время известна возможность хаотического поведения в бездиссипативных, или так называемых консервативных системах. По сути дела, именно поиск решений уравнений небесной механики привел в конце XIX в. некоторых математиков, например Пуанкаре, к предположению, что решения многих задач динамики чувствительны к начальным условиям и поэтому детали движения тел по орбитам оказываются непредсказуемыми.
Изучение хаотической динамики в системах с сохранением энергии, которое, впрочем, не является основным предметом этой книги, занимает много места в научной литературе. Это направление иногда помещают в разделы, озаглавленные «Динамика гамильтоновых систем», что указывает на методы Гамильтона (и Якоби), используемые для решения нелинейных задач для бездиссипативных систем с большим числом степеней свободы (см., например, превосходную монографию [110]).
Наша цель состоит в том, чтобы дать чисто описательную картину хаоса в таких задачах и противопоставить свойства непредсказуемой динамики в неконсервативных и консервативных системах.
Физические примеры консервативных систем связаны с проблемами расчета орбит в небесной механике и поведения частиц в электромагнитных полях. Понятно поэтому, что большая часть работы в этой области была проделана теми, кто занимается физикой плазмы, астрономией и астрофизикой.
Впрочем, хотя в большинстве земных динамических систем происходят некоторые потери энергии, в некоторых из них, как, например, в структурированных конструкциях или микроволновых резоваторах, затухание очень слабо, и на конечных интервалах времени они могут вести себя как консервативные или гамильтоновы системы.
В качестве примера можно привести технологическую конструкцию, находящуюся На околоземной орбите. Кроме того, динимика консервативных систем представляет собой предельный случай динамического анализа при слабом затухании. Поэтому, даже если мы не намерены привести строгий или подробный синопсис гамильтоновой динамики, имеет смысл обсудить общие свойства этих задач.
Системы, в которых сохраняется энергия, в типичных случаях обнаруживают те же типы ограниченных колебательных движений, что и системы с потерями. К числу таких движений относятся периодические, субгармонические, квазипериодические и хаотические. Одно из основных отличий между колебаниями в системах с потерями и без них состоит в том, что хаотические орбиты в системах с потерями обнаруживают фрактальную структуру фазовых портретов, в то время как в бездиссипативных системах такая структура отсутствует.
В консервативных системах хаотические орбиты стремятся однородно заполнить все части некоторого подпространства в фазовом пространстве; другими словами, они характеризуются однородной плотностью вероятности в ограниченных областях фазового пространства. Поэтому бездиссипативные системы имеют другие отображения Пуанкаре, чем системы с диссипацией. Тем не менее по-прежнему применима такая мера расхождения близких орбит, как показатели Ляпунова. Примером бездиссипативной системы является шарик, подскакивающий на упругом столе, причем стол движется и предполагается, что при соударениях не теряется энергия, т. е. они упруги. Эта задача подробно разбирается в гл. 5.
