Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
ПРИЛОЖЕНИЕ В. ИГРУШЕЧНЫЕ МОДЕЛИ С ХАОТИЧЕСКИМ ПОВЕДЕНИЕМНа многочисленных лекциях о хаосе, с которыми мне довелось выступать в различных аудиториях, я демонстрировал хаотические колебания с помощью простой и недорогой модели колеблющейся балки. И эта игрушка неоднократно превращала Фому неверующего в ревностного сторонника теории хаотических колебаний и служила вполне убедительным обоснованием необходимости изучения подчас достаточно сложной математической теории, лежащей в основе хаотических явлений. В этом приложении я опишу несколько игрушечных моделей или общедоступных экспериментов, не требующих особых затрат или сложного оборудования, и приведу для специалистов, склонных к более серьезному экспериментированию, некоторые существенные подробности эксперимента с хаотическими колебаниями продольно изогнутого стержня (о котором неоднократно упоминалось в нашей книге). На одной из лекций один из слушателей с невинным видом предложил назвать мою экспериментальную установку chaotic Moon beam). Этот эксперимент имел большой успех, позволив проверить и качественно, и количественно многие теоретические идеи относительно хаоса. Другая игрушечная модель с хаотическим поведением представляет собой вариант маятника, на который действует вынуждающая сила. Иногда ее можно встретить в игрушечных отделах магазинов, продающих игрушки для взрослых, под названием «космический шарик». Описание такой игрушки также приводится ниже. Наконец, я привожу краткое описание простой цепи с неоновой лампой, дающей хаотические вспышки света. Тем, кого заинтересует простая схема, позволяющая наблюдать удвоение периода, я рекомендую электрическую цепь из работы Мацумото и др. [129]. Известная под названием «аттрактор в виде двойного свитка», она была изобретена Л. Чуа из Калифорнийского университета в Беркли. Эта цепь описана в гл. 3. В.1. ХАОТИЧЕСКАЯ УПРУГАЯ ЛИНИЯ (ЭЛАСТИКА): НАСТОЛЬНЫЙ ЭКСПЕРИМЕНТ ПО ХАОТИЧЕСКИМ КОЛЕБАНИЯМЭта механическая игрушка стоит очень дешево и позволяет демонстрировать три различных хаотических явления: 1) аттрактор в случае потенциала с двумя ямами (или колебания продольно изогнутого стержня); 2) билинейный осциллятор; 3) неплоские хаотические колебания тонкого стержня. Схема устройства игрушечной модели, о которой идет речь, показана на рис. В.1 для задачи о продольно изогнутом стержне. Модель состоит из небольшого игрушечного моторчика, работающего от батарейки, с эксцентрическим грузиком, создающим вынужденные колебания, и тонкой стальной консольной «балки» с двумя магнитами у свободного конца, создающими нелинейные изгибающие силы.
Рис. В.1. Игрушка, позволяющая наблюдать хаотическую эластику в разобранном виде. 1 — Опора из поликарбоната; 2 — маховичок с эксцентрическим отверстием; 3 — игрушечный электромоторчик постоянного тока; 4 — алюминиевая пластина (толщина 1,1 мм, длина 7,0 см); 5 — стальная пластина (толщина 0,38 мм, длина 21 см); 6 — гаечки для регулировки частот; 7 — магниты из редких земель; 8 — стальная пластина (державка для магнитов); 9 — основа из поликарбоната. К балке прикреплены две массы, позволяющие регулировать частоту вынуждающей силы (4—8 Гц) так, чтобы она совпадала с частотой одного или двух собственных колебаний балки. Прочная пластина из поликарбоната служит опорой, а основание можно закрепить на столе липкой лентой или прижать чем-нибудь тяжелым. Все устройство легко разбирается, и перевозить его можно в плоской коробке, умещающейся в портфель. Действует устройство следующим образом. Если приложить к моторчику низкое напряжение от двух или трех батареек постоянного тока через потенциометр, то алюминиевая балочка в верхней части модели возбуждается эксцентрическим грузиком, приводимым во вращение моторчиком. В нижней части на основании закреплены два магнита из редких земель, и стальная балочка совершает периодические колебания относительно одного из двух устойчивых положений равновесия (разумеется, можно взять и более двух магнитов). С двумя прикрепленными к ней массами (гаечками) стальная балочка резонирует в окрестности второй моды, и свободный конец ее сильно отклоняется от положения равновесия. При увеличении скорости вращения моторчика стальная балка скачком переходит из одного положения равновесия к другому. При надлежащих условиях (расположении магнитов, скорости вращения моторчика, расположении масс), на поиск которых обычно уходит около 5 мин, стальная балка совершает хаотические колебания. Чтобы достичь еще большего эффекта, приклеил на свободный конец стальной балки небольшое зеркальце и проектировал отраженный от него лазерный луч на стену или на потолок. При переходе от периодического движения к хаотическому зрелище было впечатляющее! Если магниты заменить каналом из тонкого металла, как показано на рис. В.2, то это позволит демонстрировать хаотические колебания балки с нелинейными граничными условиями (см. гл. 3).
Рис. В.2. Эластика и граничные условия для хаоса в билинейной балке. Если металлический ограничитель свободного конца стальной балки сделать очень тонким, то аудитория сможет услышать непериодическое или периодическое постукивание балки по ограничителю. В.2. БАЛКА МУНА, ИЛИ ЭКСПЕРИМЕНТ С ХАОТИЧЕСКИМИ КОЛЕБАНИЯМИ ПРОДОЛЬНО ИЗОГНУТОЙ БАЛКИКак уже сообщалось в гл. 2—4, вынужденные колебания изогнутой консольной балки в поле двух сильных магнитов допускают совершенно адекватное описание с помощью нелинейного дифференциального уравнения типа уравнения Дуффинга
Успешные эксперименты с хаотическими колебаниями могут быть проведены с двумя различными балками, если подвергнуть тряске защемление балки и магниты с помощью касающегося электромагнитного вибратора, как показано на рис. В.3.
Рис. В.3. Схема экспериментальной установки для исследования хаотической эластики балки с помощью электромагнитного качающегося вибратора. 1 — Импульсный генератор; 2 — генератор сигнала и усилитель; 3 — качающийся вибратор; 4 — магниты из редких земель; 5 — датчики деформации; 6 — мостик датчика деформации и усилитель; 7 — аналоговое дифференцирующее устройство; 8 — аналоговое запомнившее устройство или цифровой осциллоскоп; 9 — запуск отображения Пуанкаре. Стандартные электромагнитные вибраторы (по ценам 1986 г.) стоят от 2000 до 4000 долларов, но изобретальный экспериментатор вполне может собрать самодельный вибратор, воспользовавшись магнитом и силовой обмоткой от громкоговорителя за 200 долларов. Список характеристик двух упругих балок-стержней приведен в табл. В.1. В качестве магнитов лучше всего брать круглые постоянные магниты из редких земель диаметром 2,5 см. Располагая такой установкой, можно получать отображения Пуанкаре хаотических движений (Гл. 4), измерять критическую силу для хаотического движения как функцию частоты (гл. 5) или фрактальную размерность движения по экспериментальным временным рядам (гл. 6). Таблица В.1. Параметры для экспериментов с хаотическими колебаниями продольно изогнутых балок
Чтобы получать электрические сигналы, пропорциональные отклонению от равновесия, мы использовали два датчика деформаций, приклеенных вблизи защемленного конца балки: с каждой стороны по одному датчику, соединенные через два резистора с двумя плечами мостика Уитстона. Сигнал, получаемый на выходе мостика, усиливался и подавался на электрический фильтр. Нетрудно сконструировать недорогую схему, которая позволяла бы дифференцировать отфильтрованный сигнал. В обоих устройствах следует следить за тем, чтобы достичь минимального искажения и по амплитуде и по фазе на частотах, по крайней мере вдвое превышающих частоту собственных колебаний балки вблизи одного из двух магнитов. Затухание имеет решающее значение для описываемого эксперимента. Большинство металлов обладает низким затуханием, и отображение Пуанкаре свидетельствует скорее о гамильтоновом, или консервативном, чем о фрактальном, или диссипативном, хаосе. В нашем эксперименте для усиления затухания мы вводили специальный поглощающий слой. Проще всего это сделать, обклеив колеблющуюся балку липкой с двух сторон целлофановой лентой и покрыв ее сверху металлической лентой (толщиной 0,1 мм). Если такие покрытия нанести с двух сторон балки, то можно добиться существенного усиления затухания и получить очень красивые отображения Пуанкаре, напоминающие по виду фракталы. Остальные подробности относительно экспериментов с хаотическими колебаниями читатель может почерпнуть из гл. 4. В.3. ХАОТИЧЕСКИЙ ДВОЙНОЙ МАЯТНИК, ИЛИ «КОСМИЧЕСКИЙ ШАРИК»Эта игрушка существует в нескольких вариациях, две из которых показаны на рис. В.4. Коммерческие варианты (тайваньского производства) изготовлены очень тщательно, но мне не удалось обнаружить на игрушках ни фамилии изготовителя, ни каких-либо данных о патентах. Действие игрушки основано на вынужденных колебаниях маятника, взаимодействующего с магнитной цепью, которая скрыта в подставке. С первым маятником скреплено еще одно вращающееся плечо. Как показано на рис. В.4, возможно несколько конфигураций. Во всех конфигурациях на ось второго плеча действует вынуждающая сила со стороны первого маятника. В некоторых вариантах этой игрушки небольшие магниты, закрепленные на первичном и вторичном маятниках, взаимодействуют, когда вторичное плечо проходит вблизи рамки первичного маятника.
Рис. В.4. Игрушки для демонстрации хаотических режимов: двойной маятник и «космический шарик».
Рис. В.5. Цепь для создания импульсного вращательного момента в хаотическом маятнике. Для подачи импульсов тока в силовой магнит используется простая, но остроумная цепь, схема которой приведена на рис. В.5. Когда нижний маятник колеблется, магнитное поле в притягивающем магните создает напряжение в обмотке, входящей в состав цепи, скрытой в подставке. Это напряжение приложено к транзистору, который начинает проводить, когда индуцированное движением напряжение достигает критического значения. За время проводящей фазы ток из батареи напряжением 9 В течет по второй обмотке магнита, создавая действующий на маятник импульсный вращательный момент. В большинстве случаев колебания первичного маятника почти периодические, тогда как вторичный маятник совершает хаотические колебания. Профессор Алан Вулф из Куперовского объединения, Нью-Йорк, и его коллеги проанализировали действие этой игрушки и показали, что движение вторичного маятника действительно хаотично (к сожалению, их работа не была опубликована к тому времени, когда была написана эта книга). В.4. ИГРУШКА С НЕОНОВОЙ ЛАМПОЙ, ДЕМОНСТРИРУЮЩАЯ ХАОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕМой последний пример предназначается тем читателям, которые питают склонность к электротехнике. Он описан в 1977 г. Рольфом Ландауэром из отделения фирмы ИБМ в г. Йорктаун-Хайтс в отчете под названием «Хаос бедняка». Аналогичное исследование было опубликовано Голлубом, Браннером и Данли [43]. Цепь, о которой идет речь, изображена на рис. В.6 и состоит из двух цепей с неоновыми лампами, связанных между собой. В каждой цепи в отдельности могут происходить релаксационные колебания (см., например, Минорский [135]). В связанных между собой цепях динамика может быть стационарной, периодической или хаотической, и наблюдатель может следить за ней по характеру вспышек неоновых ламп. В работе Голлуба и др. [43] вместо неоновых ламп использованы туннельные диоды, и в цепи дополнительно включены индуктивности.
Рис. В.6. Цепь из эксперимента с неоновой лампой 199]. Ландауэр построил эту игрушку по воспоминаниям об аналогичном упражнении, которое ему довелось выполнять в 1945 г. на курсах по подготовке технических специалистов среднего звена по электронике для ВМС США. Это еще раз подтверждает высказанную мною гипотезу о том, что хаотические колебания наблюдались и в прошлом, но как своего рода курьез, так как не было теоретических основ для их серьезного изучения.
|
1 |
Оглавление
|