СПЕКТР ПОКАЗАТЕЛЕЙ ЛЯПУНОВА

До сих пор мы говорили только о растяжении расстояния между траекториями в хаотическом процессе. Однако в случае трех и большего числа измерений, как известно, области фазового пространства могут не только растягиваться, но и сокращаться в ходе динамического процесса. В частности, в случае диссипативных систем малый объем начальных условий отображается на еще меньший объем в более поздний момент времени. Схематически это показано на рис. 5.30, где малая сфера начальных условий радиуса 6 отображается при в эллипсоид с главными осями ,

Рис. 5.30. Расходимость траекторий, выходящих из малой сферы начальных условий, при хаотическом движении.

Таким образом, для каждой динамической системы существует спектр показателей, или чисел, Ляпунова

С вычислительной точки зрения этот спектр может быть найдеа по траектории в фазовом пространстве, если мы будем знать, как эволюционируют в ходе динамического процесса длины, площади, объемы и гиперобъемы. Вулф и др. [209], используя эту идею, разработали алгоритм для вычисления . Если упорядочены так, что то, как показали Вулф и др., длины (расстояния между траекториями) изменяются по закону площади (треугольников, одна вершина которых находится на опорной траектории, а две другие в соседних с траекторией точках) — по закону малые объемы — по закону и т. д.

Фармер и др. [36] дают аналитическое определение полного спектра показателей Ляпунова и приводят пример, когда спектр ОД может быть вычислен явно. Оставшуюся часть этой главы мы посвятим краткому изложению схемы вычисления показателей Ляпунова для двумерного отображения. Многие из деталей мы опускаем. Те из читателей, для которых эти подробности представляют интерес, могут найти их в статье Фармера и др. [36]. Начнем с рассмотрения общего -мерного отображения

где — вектор в -мерном фазовом пространстве. Изменение формы малой гиперсферы зависит от производных функции по различным компонентам вектора Соответствующая матрица называется матрицей Якоби. Например, если

то

После итераций отображения локальная форма исходной гиперсферы зависит от

(5.4.24)

В общем случае можно найти собственные значения матрицы и расположить их в порядке , где — абсолютные величины собственных значений. Тогда показатели Ляпунова определяются с помощью предельного перехода

(5.4.25)

Это определение Фармер и др. проиллюстрировали на примере двумерного отображения, известного под названием «преобразование пекаря» (рис. 5.31) (такое название связано с тем, что операции, производимые над квадратом при этом отображении, напоминают , которые производит пекарь, раскатывая кусок теста). Преобразование пекаря аналогично описанному в гл. 1 отображению типа «подкова». Преобразование пекаря задается следующими формула

Рис. 5.31. Преобразование пекаря.

Преобразование пекаря можно рассматривать как обобщение отображения Бернулли с которым мы познакомились в преды. душем разделе. Для преобразования пекаря матрица Якоби имеет следующий вид:

где .

При итерациях отображения собственные значения переходят в

где k — число итераций в левой полуплоскости, а — число итераций в правой полуплоскости. По определению показателя Ляпунова (5.4.25),

Здесь мы используем предположение о том, что после многих итераций траектория проводит в левой полуплоскости столько же времени, сколько в правой полуплоскости, или

поэтому

(5.4.28)

Зная эти два показателя Ляпунова, можно вычислить для преобразования пекаря фрактальную размерность. Связь между показателями Ляпунова и фрактальными размерностями была исследована Фармером и др. [36] и кратко обсуждается в гл. 6.

Спектры показателей Ляпунова для некоторых динамических потоков и отображений представлены в табл. 5.2, заимствованной из работы Вулфа и др. [209].

Таблица 5.2. Показатели Ляпунова для динамических моделей [209]

В качестве заключительного замечения о критериях хаоса автору хотелось бы привести следующее стихотворение итальянского поэта Ф. Луна: