6.3. ФРАКТАЛЬНАЯ РАЗМЕРНОСТЬ СТРАННЫХ АТТРАКТОРОВ

Фрактальная математика применяется в нелинейной динамике главным образом для двух целей: характеристики странных аттракторов и измерения фрактальных границ в пространствах начальных данных и параметров. В этом разделе мы обсудим использование фрактальной размерности в численных экспериментах и физических измерениях движений, связанных со странными аттракторами.

Пока еще не существует приборов, электронных или каких-нибудь других, которые давали бы на выходе сигнал, пропорциональный фрактальной размерности, хотя в будущем электрооптические методы, возможно, позволят построить такой прибор (см. разд. 6.3). Ныне и в численных, и в физических экспериментах фрактальную размерность и показатели Ляпунова находят, дискретизируя сигналы последовательностью равноотстоящих (по времени) точек и обрабатывая полученные данные на компьютере. Существует 3 основных метода:

а) временные дискретизации переменных в фазовом пространстве!

б) вычисление фрактальной размерности отображений Пуанкаре;

в) построение псевдофазового пространства по измерениям одной переменной (иногда называемой методом вложения пространства).

В первом и третьем методах переменные измеряются через одинаковые интервалы времени , где — целые числа, и записываются.

Временной интервал выбирается с таким расчетом, чтобы он составлял определенную долю периода вынуждающей силы или характерного времени траектории. Если сечение Пуанкаре в методе «б» проводится по временной переменной, то — период траектории. Если же сечение Пуанкаре проводится по каким-нибудь другим переменным в фазовом пространстве, то собранные данные соответствуют различным моментам временя в зависимости от конкретного типа выбранного сечения Пуанкаре (см. гл. 4).

Существуют основные определения фрактальной размерности используемых сейчас: усредненная поточечная размерность, корреляционная размерность и ляпуновская размерность. В большинстве современных работ, где реально вычисляется фрактальная размерность, используется от 2000 до 20 000 точек, хотя некоторые авторы утверждают, что обладают надежными алгоритмами, позволя ющими вычислять размерность по 500 точкам (см., например, работу Абрахама и др. [2]). Прямые алгоритмы для вычисления фрактальной размерности по точкам обычно содержат операций и требуют для реализации использования суперминикомпьютеров или крупных компьютеров. Но при более рациональном использовании возможностей, заложенных в компьютерах число операций удается понизить до и тем существенно ускорить вычисления (см. [47]).