НЕЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ
Любая хаотическая система должна иметь нелинейные элементы или свойства. В линейной системе не может быть хаотических колебаний. В линейной системе периодические внешние воздействия вызывают после затухания переходных процессов периодический отклик того же периода (рис. 2.1). (Исключением являются параметрические линейные системы.) В механических системах возможны следующие нелинейные компоненты:
1) нелинейные упругие элементы;
Рис. 2.1. Схема возможных преобразований сигнала в линейных и нелинейных системах.
2) нелинейное затухание, подобное трению покоя и скольжения;
3) мертвый ход, зазор или билинейные пружины;
4) большинство гидродинамических явлений;
5) нелинейные граничные условия.
Нелинейные упругие эффекты могут быть связаны либо со свойствами веществ, либо с геометрическими особенностями. Например, соотношение напряжений в образце из резины и его деформации нелинейно. Однако, хотя соотношение напряжений и деформаций стали обычно линейно вплоть до предела текучести, сильные изгибы балки, плиты или оболочки могут быть нелинейно связаны с приложенными силами и моментами. Подобные эффекты, связанные с сильными смещениями или поворотами, в механике обычно называются геометрическими нелинейностями.
Нелинейные свойства электромагнитных систем обусловлены следующими факторами:
1) нелинейными сопротивлениями, емкостями или индуктивными элементами;
2) гистерезисом в ферромагнитных материалах;
3) нелинейными активными элементами, подобными вакуумным лампам, транзисторам и диодам;
4) эффектами, характерными для движущихся сред, например электродвижущей силой 
, где v — скорость, а В — магнитное поле;
5) электромагнитными силами, например 
, где J — ток, или 
, где М — дипольный магнитный момент.
Примерами нелинейных устройств являются такие обычные элементы электрических цепей, как диоды и транзисторы.
Рис. 2.2. Нелинейные задачи с несколькими положениями равновесия: а — продольный изгиб тонкого упругого стержня под действием осевой нагрузки на торце; 6 — продольный изгиб упругого стержня нелинейными магнитными массовыми силами.
Такие магнитные материалы, как железо, никель или ферриты характеризуются нелинейными материальными соотношениями между полем намагничивания и плотностью магнитного потока. С помощью операционных усилителей и диодов некоторым экспериментаторам удается собрать отрицательные сопротивления с билинейной вольт-амперной характеристикой (см. гл. 4).
Не во всякой системе легко выявить нелинейности, во-первых, потому что мы часто приучены рассуждать на языке линейных систем, а во-вторых, потому что основные компоненты системы могут быть линейными и нелинейность является тонким эффектом. К примеру, отдельные элементы фермы крепления могут быть линейно упругими, но они собраны так, что имеются зазоры и присутствует нелинейное трение. Таким образом, нелинейность может скрываться в граничных условиях.
В примере с изогнутым стержнем нелинейные элементы выделяются без труда (рис. 2.2). В любом механическом устройстве, имеющем более одного положения статического равновесия, присутствуют зазор, мертвый ход или нелинейная жесткость. В случае стержня, изогнутого нагрузкой на конце (рис. 2.2, а), виновником является геометрическая нелинейность жесткости. В стержне, изгибаемом магнитными силами (рис. 2.2, б), источником хаотического поведения системы являются нелинейные магнитные силы.
