ВЫЧИСЛЕНИЕ РАЗМЕРНОСТИ ПО ОДНОРАЗОВОМУ ИЗМЕРЕНИЮ ВРЕМЕННОГО РЯДА

Методы, которые мы обсуждаем до сих пор, предполагают (1) известной размерность пространства, в котором лежит аттрактор, и (2) возможным измерение всех переменных состояния. Однако во многих экспериментах удается проследить или измерить временную эволюцию только одной переменной состояния. Кроме того, в непрерывных системах, содержащих жидкие или твердотельные среды, число степеней свободы или минимальное число «значащих» мод, дающих вклад в хаотическую динамику, может быть априори не известно. Одно из важных приложений фрактальной математики как раз и состоит в том, что она позволяет определить наименьшее число дифференциальных уравнений первого порядка, позволяющих передать качественные особенности динамики непрерывных систем. На этом пути удалось добиться некоторых успехов в задачах термогидродинамики, например в конвекции Рэлея—Бенара (см. [123]).

В первых теориях турбулентности (например, в теории Ландау [98]) считалось, что хаотический порок возникает в результате взаимодействия в жидкости очень большого или бесконечного множества мод или степеней свободы. Согласно современным представлениям, хаос, связанный с переходом к турбулентности, может быть моделирован конечной системой обыкновенных дифференциальных уравнений.

Предположим, что число дифференциальных уравнений первого порядка, необходимых для моделирования динамики некоторой диссипативной системы, равно N. Тогда фрактальная размерность аттрактора должна удовлетворять неравенству d < N. Следовательно, определив каким-то способом величину d, мы тем самым определили бы минимум для N.

Не располагая числом N, мы не можем знать, сколько физических переменных подлежат измерению. Вместо этого мы строим псевдофазовое пространство, или пространство вложения, используя значения какой-нибудь одной физической переменной, взятые со сдвижкой по времени, например (см. гл. 4 и работу Паккарда и др. [152]). Например, векторы трехмерного псевдофазового пространства мы вычисляем, используя три последовательные компоненты дискретизированной величины x(t) (рис. 6.12), т. е.

(6.3.8)

Располагая этими радиус-векторами, можно воспользоваться корреляционной функцией (6.2.4) или усредненной вероятностью (6.2.3) и вычислить фрактальную размерность.

рис. 6.12. Общий вид траектории в трехмерном псевдофазовом пространстве, реконструированной по одноразовому измерению временного ряда.

Чтобы определить минимальное N, мы строим псевдофазовые пространства все более высокой размерности, используя для этого выборочные измерения x(t), до тех пор пока фрактальная размерность не достигнет своего асимптотического значения где Тогда минимальную размерность фазового пространства для исследуемого хаотического аттрактора можно принять равной

При реконструкции динамического аттрактора по хронологически упорядоченным измерениям одной переменной возникает вопрос: какой размерности должно быть пространство вложения для того, чтобы ухватить все топологические особенности исходного аттрактора? Ответ на этот вопрос дают теоремы, сформулированные и доказанные математиком Такенсом. Если исходный аттрактор «живет» в -мерном фазовом пространстве, то при реконструкции нам придется построить пространство вложения (наше псевдофазовое пространство) размерности

Для иллюстрации этих идей применим метод пространства вложения для нахождения размерности аттрактора в задаче о движении в потенциале с двумя ямами (или о колебаниях продольно изогнутой балки) (3.2.2). Ранее мы видели, что этот аттрактор «живет» в трехмерном фазовом пространстве и имеет фрактальную размерность d = 2,3 (рис. 6.8). По тем же данным мы можем теперь вычислить фрактальную размерность d из отображения Пуанкаре (рис. 6.9, 6.10). По тем же численным данным, интегрируя по методу Рунге—Кутта, мы можем восстановить движение в псевдофазовом пространстве, используя дискретизованное значение и выбирая пространства вложения размерности Графики на рис. 6.13 а, б показывают корреляционную функцию и вычисленную размерность аттрактора в каждом пространстве вложения.

На рис. 6.13 б видно, что размерность достигает асимптотического значения d = 2,5 после , что согласуется с теоремой Такенса.

Рис. 6.13 а. log С как функция от для задачи о движении в потенциале с двумя ямами при различных размерностях пространства вложения. Хронологическая последовательность данных соответствует хронологической последовательности точек на рис. 6.8 и 6.10.

Рис. 6.13 б. Фрактальная размерность аттрактора как функция размерности пространства вложения.

В качестве примера использования экспериментальных данных мы приведем работу, выполненную группой при французской научно-исследовательской лаборатории в Сакле (см., например, работы Мальрезона и др. [123], Берже и др. [11]). Члены этой группы произвели измерение фрактальной размерности конвективной ячейки в жидкости под действием градиента температуры (конвекция Рэлея—Бенара, см. гл. 3). Они вычислили фрактальную размерность, используя усредненную поточечную размерность (6.2.3) для псевдофазовых пространств различной размерности. Как показано на рис. 6.14, фрактальная размерность достигает насыщения при значении d = 2,8, когда размерность фазового пространства вложения становится равной 5 и больше. Французские исследователи использовали 15 000 точек и усредняли по 100 случайным точкам.

Исследователи обнаружили также и области хаотического течения, в которых зависимость от не имела четко выраженного наклона.

Об аналогичных результатах для течения между двумя цилиндрами (течения Тейлора—Куэтта) сообщила группа исследователей из Советского Союза (Львов и др. [118]). По их утверждению, нм удалось измерить информационную размерность. На рис. 6.15 показан угловой коэффициент зависимости от как функция параметра е. Изображенная на рис. 6.15 ситуация характерна для таких измерений. При малых значения углового коэффициента отражают инструментальный шум, при больших размеры покрывающих кубов или гиперсфер достигают масштаба аттрактора.

Рис. 6.14. Фрактальная размерность как функция размерности псевдофазового пространства вложения для измерений электрогидродинамического течения жидкости РГД), течения Рэлея — Бенара (гл. 3) и белого шума [123].

Рис. 6.15. Вычисление фрактальной размерности для хаотического течения жидкости между двумя вращающимися цилиндрами — течения Тейлора — Куэтта (см. гл. 3) [118] (Elsevier Science Publishers, © 1981).

Такой подход позволяет определить, как изменяется фрактальная размерность при вариации в ходе эксперимента какого-нибудь управляющего параметра. Например, в случае течения Тейлора—Куэтта (см. рис. 3.37) Суинни и его сотрудники [182] измерили изменения фрактальной размерности d как функции числа Рейнольдса (рис. 6.16).

Рис. 6.16. Зависимость информационной размерности от числа Рейнольдса для потока в системе Тейлора — Куэтта [182] (Elsevier Science Publishers, © 1985).

В другом гидродинамическом эксперименте Чилиберто и Голлуб [22] исследовали хаотическое возбуждение поверхностных волн в жидкости. Хаотические поверхностные волны возбуждались на частоте 16 Гц (вертикальные колебания); для выборки было отобрано 2048 точек с интервалом 1,5 с (около 300 траекторий). Используя метод пространства вложения, Чилиберто и Голлуб измерили корреляционную размерность и информационную размерность . Обе размерности достигают асимптотических значений, когда размерность пространства вложения становится равной 4 или больше (см. также рис. 5.8).

Хольцфусс и Майер-Кресс [80] исследовали возможные ошибки при оценивании размерностей по временным рядам данных. Были изучены три метода: вычисление корреляционной размерности, усредненной поточечной размерности и метод усредненного радиуса Термониа и Александровича [188]. Хольцфусс и Майер-Кресс проверили каждый из трех методов на выборке из 20 000 точек, взятых из траекторий квазипериодического движения по 5 торам, порожденного 5 несоизмеримыми частотами. Используя метод псевдофазового пространства с размерностями вложения от 2 до 20, Хольцфусс и Майер-Кресс обнаружили, что усредненная поточечная размерность имеет наименьшее стандартное отклонение из всех трех исследуемых характеристик. Усреднение производилось по 20% выборочных точек, и кривые, не обнаруживавшие свойств самоподобия в значительном диапазоне значений параметра , отбрасывались.