ХАОС В УПРУГИХ НЕПРЕРЫВНЫХ СРЕДАХ

Автором этой книги и его сотрудниками было проведено много экспериментов с хаотическими колебаниями упругих стержней (см., например, [136, 137, 141, 142, 145]). Исследованы проблемы двух типов. В задачах одного класса уравнение в частных производных, описывающее движение стержня, линейно, но нелинейны массовые силы или граничные условия. В других задачах движения достаточно сильны, чтобы в уравнениях движения стали существенными нелинейные члены.

Рис. 3.22. Хаотические боковые движения модели на магнитной подушке.

При малых изгибах и отклонениях уравнение движения упругого стержня имеет вид

где v — поперечное смещение стержня, D — коэффициент упругой жесткости, — масса на единицу длины. Правая часть уравнения описывает распределенные массовые силы или внутреннее затухание. Во многих опытах, проведенных в Корнеллском университете, для создания нелинейных массовых сил использовались постоянные магниты.

Когда смещение и наклон оси стержня велики, горизонтальное и вертикальное смещение и наклон характеризуются переменными в), связанными соотношениями

(3.3.4)

где — длина, измеряемая вдоль деформированного стержня (рис. 3.23). Тогда уравнения сохранения импульса приобретают вид

где

В этих уравнениях — компоненты массовой силы, а Т - осевая сила, создающая напряжения в стержне. Нелинейные члены отличаются от характерных для механики жидкостей тем, что сюда не входят переносные, или кинематические, нелинейности. Кроме того, локальная зависимость напряжений от деформации линейна. Нелинейные члены возникают из-за изменения геометрической формы и называются геометрическими нелинейностями. (См. обсуждение нелинейной теории стержней в [117].)

Рис. 3.23. Плоская деформация упругого стержня.

Магнитоупругий изогнутый стержень. В этом примере упругий стержень, закрепленный с одной стороны, изгибается магнитами которые помещены вблизи его свободного конца (см. гл. 2 и 4 и [136, 137, 139, 141]). Магнитные силы делают неустойчивым прямое, неизогнутое состояние стержня и создают несколько положений равновесия, одно из которых показано на рис. 3.24 а. В наших экспериментах с помощью четырех магнитов создавалось до четырех положений устойчивого равновесия. После того как такой изгиб создан, система аналогична частице в потенциале из двух или более ям (см. рис. 1.2, б). Все устройство помещается на вибростенд и колеблется с постоянной амплитудой и частотой. При слабых колебаниях стержень остается вблизи одного из положений равновесия. Однако с ростом амплитуды стержень может выскочить из потенциальной ямы и начинаются хаотические движения, при которых стержень переходит из одной ямы в другую (см. рис. 3.6). Отображение Пуанкаре для этого процесса показано на рис. 3.24б. (Мы называем это отображение «цветком Пуанкаре».)

Для описания этой системы используется многомодовое приближение уравнения (3.3.3), в котором учтены нелинейные магнитные силы, действующие на свободный конец стержня.

Для стержня с затуханием, закрепленного с одной стороны, хорошие результаты дает одномодовое приближение. Соответствующее уравнение можно записать в виде системы трех уравнений первого порядка. Обратите внимание, что здесь переменная х является безразмерной амплитудой гармоники, а не расстоянием вдоль стержня:

(3.3.6)

Эта задача аналогична задаче о частице в паре потенциальных ям . Этот эксперимент мы будем обсуждать на протяжении всей книги.

Рис. 3.24 а. Упругий стальной стержень, изогнутый магнитными массовыми силами и прикрепленный к периодически движущемуся основанию.

Рис. 3.24 б. Полученное в эксперименте отображение Пуанкаре для хаотического движения стержня, продольно изогнутого магнитными силами («цветок Пуанкаре»).

Отображение Пуанкаре (рис. 3.246) имеет вид. характерный для двумерных точечных отображений. В типичных случаях эксперименты не обнаружили удвоений периода перед переходом к хаотическому движению. Предвестниками хаоса часто оказывались нечетные субгармоники.

Видоизменением этого эксперимента является перевернутый маятник с пружиной, о котором сообщает из Китайской Народной Республики Зу [215], сотрудник Пекинского университета. Если пружина слабая, то, как и в задачах с двумя потенциальными ямами, перевернутый маятник имеет два положения устойчивого равновесия.

Изогнутый стержень с двумя степенями свободы. Чтобы изучить роль дополнительных степеней свободы, мы создали упругий аналог сферического маятника (см. рис. 3.9), в котором использован стержень кругового сечения [137]. Для изгибания стержня по-прежнему использовались магниты, но теперь его конец мог двигаться в двух направлениях. В результате появились несоизмеримые естественные частоты и квазипериодические колебания, которые в конце концов превратились в хаотические (рис. 3.25).

Эта экспериментальная модель описывается уравнениями для двух связанных осцилляторов:

(3.3.7 а)

Члены описывают действие тяготения, если начальное положение стержня не вертикально, а члены, связывающие эти уравнения, потенциальны. Если связь слаба, можно решить уравнение (3.3.7, б) относительно y(t), и уравнение для x(t) приобретает вид уравнения параметрических колебаний.

Майлс [133] провел численные эксперименты с парой осцилляторов с затуханием и квадратичной связью, обнаружив области хаотического движения, вызванного синусоидальным возбуждением. Он рассмотрел частный случай, когда линейные собственные частоты связаны соотношением

Упругий стержень с нелинейными граничными условиями. Для того чтобы получить хаотические колебания в механической системе, не обязательно иметь несколько положений равновесия. Любая сильная нелинейность также, скорее всего, вызовет хаотический шум при периодическом внешнем воздействии. Одним из примеров системы с одним положением равновесия является упругий стержень с нелинейными граничными условиями (145].

Рис. 3.25. а — Схема упругого прута, совершающего трехмерные движения в паре потенциальных ям, созданных двумя магнитами; б — наложенные друг на друга траектория движения в фазовом пространстве и отображение Пуанкаре для квазипериодического движения (вверху); отображение Пуанкаре для хаотического движения (внизу).

Рис. 3.26. Хаотические колебания упругого стержня с нелинейным граничным условием.

Нелинейными называются такие граничные условия, которые зависят от движения. Например, предположим, что конец стержня может свободно двигаться в одном направлении, а движение в другом направлении запрещено. Хаотическое поведение такого стержня показано на рис. 3.26. Модификацией этого примера является двустороннее ограничение с зазором, при котором изгиб стержня может происходить в трех различных режимах. Эксперименты, проведенные в нашей лаборатории, обнаружили хаос и при таких нелинейных граничных условиях. Шоу [172] провел анализ этих механических колебаний в присутствии зазора или мертвой зоны.