6.6. КОМПЛЕКСНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ И МНОЖЕСТВА МАНДЕЛЬБРОТА

Многим читателям, вероятно, уже приходилось видеть красивые цветные картины, построенные и связываемые с названием «множество Мандельброта», которые появились в августовском номере журнала Scientific American за 1985 г. и в некоторых других публикациях (см., например, книгу Пейтгена и Рихтера [153]). Эти картины являются примерами фрактальных границ областей притяжения аттракторов в фазовом пространстве и фрактальных границ в пространстве параметров и основаны на двумерном отображении комплексного переменного

(6.6.1)

где — комплексная постоянная. В вещественных переменных это отображение примет вид

В отличие от теории, излагаемой в книге Пейнтгена и Рихтера, наши отображения Пуанкаре представимы в виде

но не является аналитической функцией в смысле теории функций комплексного переменного. Мандельброт [124] и другие авторы (см., например, книгу Пейтгена и Рихтера [153]) исследовали комплексную плоскость С при таких значениях, что многократные итерации отображения (6.6.1) остаются ограниченными при

Рис. 6. 33. Фрактальная область притяжения комплексных параметров комплексного отображения (6.6.1) для ограниченных траекторий — множество Мандельброта (с разрешения Джона Хаббарда из Корнеллского университета).

Множество точек С, при которых остаются ограниченными, изображено нарис. 6.33 черным цветом. Показано, что граница этого множества обладает фрактальными свойствами.

Можно исследовать также точки равновесия, или -периодические точки отображения, такие, что

При заданной постоянной С можно исследовать область притяжения начальных значений (х, у), приводящих к тому или иному поведению системы. Показано, что граница этой области притяжения также обладает фрактальными свойствами.

Результаты исследования нелинейных разностных уравнений (например, уравнения (6.6.1)) или нелинейных дифференциальных уравнений (например, уравнения (6.5.2), показывают, что динамическое поведение системы чувствительно не только к начальным условиям, но и к небольшим изменениям или погрешностям в параметрах задачи.