АТТРАКТОР ЛОРЕНЦА И ХАОС В ЖИДКОСТИ
Что касается непредсказуемости эволюции реальных физических систем, то проведенное нами обсуждение отображений и хаоса многим читателям может показаться неубедительным. И если бы не нижеследующий пример из области механики жидкостей, связь между отображениями, хаосом и дифференциальными уравнениями, описывающими физические системы, могла бы до сих пор не выйти за рамки математических журналов. В 1963 г. специалист по физике атмосферы по имени Э.Н. Лоренц из Массачусетсского технологического института предложил простую модель тепловой конвекции в атмосфере. Жидкость, подогреваемая снизу, становится легче и всплывает, а более тяжелая жидкость опускается под действием гравитации. Такие движения часто организуются в конвективные валики, подобные движениям жидкости в трехмерном торе, показанном на рис. 1.23. В математической модели конвекции, которую предложил Лоренц, используются три переменные 
, описывающие состояния системы. Переменная х пропорциональна амплитуде скорости, с которой жидкость циркулирует в жидком кольце, а переменные у и z отражают распределение температуры по кольцу. Так называемые уравнения Лоренца можно формально получить из уравнения Навье — Стокса, уравнения в частных производных механики жидкости (см., например, гл. 3). В безразмерном виде уравнения Лоренца записываются следующим образом:
(1.3.9)
Параметры 
связаны соответственно с числами Прандтля и Рэлея, а третий параметр 
описывает геометрию системы. Отметим, что единственные нелинейные члены — это 
во втором и третьем уравнениях.
Рис. 1.23. Вверху — схема линий тока жидкости в конвективной ячейке при стационарном движении; внизу — одномерная конвекция в кольцевой трубке под действием силы тяготения и градиента температуры.
При 
(набор параметров, предпочитаемый специалистами в этой области) и при 
имеется три положения равновесия, из которых то, которое расположено в начале координат, является неустойчивой седловой точкой (рис. 1.24).
Рис. 1.24. Локальные схемы движения вблизи трех точек равновесия для уравнений Лоренца (1.3.9).
При... (страница отсутствует)
Чтобы привести (1.3.10) к виду, подходящему для исследования в фазовом пространстве, положим 
Далее, если на массу действует периодическая вынуждающая сила, то неавтономную систему второго порядка (1.3.10) можно свести к автономной системе уравнений третьего порядка. Итак, предположим, что
Вводя обозначения 
, мы приведем уравнения к виду
(1.3.11)
Частный случай с сильно хаотичным поведением — осциллятор Дуффинга — получается при 
(см. гл. 2 и 3).
Следует заметить, что если фазовое пространство двумерно, то решения автономных систем не могут быть хаотичными, потому что линии тока «потоков» не могут пересекаться. Однако при вынужденных колебаниях, т. е. в трехмерном фазовом пространстве, эти линии могут «перепутываться» и становятся возможными хаотические движения.
