Главная > Хаотические колебания
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

ТРИ ОБРАЗА ХАОСА

Простейшим примером динамической модели, обнаруживающей хаотическое поведение, по-видимому, является логистическое уравнение, или уравнение роста популяции (см., например, [130]):

Первый член в правой части описывает рост или рождение, а нелинейный член ответствен за ограничение роста, связанное, например, с ограниченностью энергетических или пищевых ресурсов.

Если пренебречь нелинейным членом , то можно выписать явное решение получающегося линейного уравнения:

Это решение устойчиво при и неустойчиво при . В последнем случае из линейной теории следует нереалистичное предсказание неограниченного роста.

Нелинейную модель (1.3.4) обычно переписывают в безразмерном виде

При имеются две точки равновесия (т. е. ). Для выяснения устойчивости отображения следует вычислить величину наклона в точке покоя. Если точка покоя неустойчива. При логистическое уравнение (1.3.6) имеет две точки покоя: при этом начало координат — неустойчивая точка, а вторая точка покоя устойчива.

Однако при наклон при превышает единицу и обе точки равновесия становятся неустойчивыми. При значениях параметра , заключенных между 3 и 4, это простое разностное уравнение описывает множество многопериодических и хаотических движений. При становится неустойчивым стационарное решение, но остается устойчивым бицикл или двупериодическая орбита. Эта орбита показана на рис. 1.18. Величинах, повторяется через каждую итерацию.

При дальнейшем увеличении двупериодическая орбита становится неустойчивой и возникает цикл с периодом 4, который вследствие бифуркации быстро заменяется циклом с периодом 8 при еще больших значениях . Этот процесс удвоения периода продолжается до тех пор, пока не достигает значения Вблизи этого значения последовательность значений параметра, при которых происходят удвоения периода, подчиняется точному закону

(1.3.7)

Это предельное отношение называется числом Фейгенбаума — по имени физика, который обнаружил эти свойства рассматриваемого отображения.

При значениях , превышающих могут возникать хаотические итерации, т. е. поведение модели на больших временах не укладывается в рамки простого периодического движения.

Рис. 1.18. Возможные типы решений логистического уравнения (1.3.6) (квадратичного отображения). Вверху — стационарное движение с периодом 1; посередине — движения с периодом 2 и периодом 4; внизу — хаотическое движение.

В интервале также присутствуют определенные узкие интервалы для которых существуют периодические орбиты. Хаотическая орбита логистического отображения показана на рис. 1.19 с помощью зависимости от

Роль этого отображения не только в том, что оно дает образец хаоса. Было показано, что и другие отображения вида . где — квадратичная или более сложная функция, ведут себя примерно так же, удовлетворяя тому же закону (1.3.7). Поэтому явление удвоения периода или регулярного изменения бифуркационного параметра называют универсальным свойством определенных классов одномерных разностных моделей динамических процессов.

Удвоение периода и отношение Фейгенбаума (1.3.7) обнаруживаются во многих физических экспериментах (см. гл. 3). Это означает, что во многих непрерывных эволюционных процессах сведение к разностному уравнению с помощью сечения Пуанкаре приводит к квадратичному отображению (1.3.4);

Рис. 1.19. Графическое решение разностного уравнения первого порядка. Показан пример квадратичного отображения (1.3.6).

отсюда следует важная роль отображений в исследовании дифференциальных уравнений. (Дальнейшее обсуждение логистического уравнения (1.3.4) см. в гл. 5.)

1
Оглавление
email@scask.ru