ТРИ ОБРАЗА ХАОСА

Простейшим примером динамической модели, обнаруживающей хаотическое поведение, по-видимому, является логистическое уравнение, или уравнение роста популяции (см., например, [130]):

Первый член в правой части описывает рост или рождение, а нелинейный член ответствен за ограничение роста, связанное, например, с ограниченностью энергетических или пищевых ресурсов.

Если пренебречь нелинейным членом , то можно выписать явное решение получающегося линейного уравнения:

Это решение устойчиво при и неустойчиво при . В последнем случае из линейной теории следует нереалистичное предсказание неограниченного роста.

Нелинейную модель (1.3.4) обычно переписывают в безразмерном виде

При имеются две точки равновесия (т. е. ). Для выяснения устойчивости отображения следует вычислить величину наклона в точке покоя. Если точка покоя неустойчива. При логистическое уравнение (1.3.6) имеет две точки покоя: при этом начало координат — неустойчивая точка, а вторая точка покоя устойчива.

Однако при наклон при превышает единицу и обе точки равновесия становятся неустойчивыми. При значениях параметра , заключенных между 3 и 4, это простое разностное уравнение описывает множество многопериодических и хаотических движений. При становится неустойчивым стационарное решение, но остается устойчивым бицикл или двупериодическая орбита. Эта орбита показана на рис. 1.18. Величинах, повторяется через каждую итерацию.

При дальнейшем увеличении двупериодическая орбита становится неустойчивой и возникает цикл с периодом 4, который вследствие бифуркации быстро заменяется циклом с периодом 8 при еще больших значениях . Этот процесс удвоения периода продолжается до тех пор, пока не достигает значения Вблизи этого значения последовательность значений параметра, при которых происходят удвоения периода, подчиняется точному закону

(1.3.7)

Это предельное отношение называется числом Фейгенбаума — по имени физика, который обнаружил эти свойства рассматриваемого отображения.

При значениях , превышающих могут возникать хаотические итерации, т. е. поведение модели на больших временах не укладывается в рамки простого периодического движения.

Рис. 1.18. Возможные типы решений логистического уравнения (1.3.6) (квадратичного отображения). Вверху — стационарное движение с периодом 1; посередине — движения с периодом 2 и периодом 4; внизу — хаотическое движение.

В интервале также присутствуют определенные узкие интервалы для которых существуют периодические орбиты. Хаотическая орбита логистического отображения показана на рис. 1.19 с помощью зависимости от

Роль этого отображения не только в том, что оно дает образец хаоса. Было показано, что и другие отображения вида . где — квадратичная или более сложная функция, ведут себя примерно так же, удовлетворяя тому же закону (1.3.7). Поэтому явление удвоения периода или регулярного изменения бифуркационного параметра называют универсальным свойством определенных классов одномерных разностных моделей динамических процессов.

Удвоение периода и отношение Фейгенбаума (1.3.7) обнаруживаются во многих физических экспериментах (см. гл. 3). Это означает, что во многих непрерывных эволюционных процессах сведение к разностному уравнению с помощью сечения Пуанкаре приводит к квадратичному отображению (1.3.4);

Рис. 1.19. Графическое решение разностного уравнения первого порядка. Показан пример квадратичного отображения (1.3.6).

отсюда следует важная роль отображений в исследовании дифференциальных уравнений. (Дальнейшее обсуждение логистического уравнения (1.3.4) см. в гл. 5.)