ФРАКТАЛЬНАЯ РАЗМЕРНОСТЬ ОТОБРАЖЕНИЙ ПУАНКАРЕ

В системах с периодическим внешним воздействием, таких, как странный аттрактор Дуффинга—Уэды (3.2.25) или странный аттрактор в задаче о движении в потенциале с двумя ямами (3.3.6), время, или фаза становится естественной переменной в фазовом пространстве. В большинстве случаев эта временная переменная лежит в том подпространстве, которое содержит аттрактор, и время можно рассматривать как одну из составляющих размерности аттрактора. В случае нелинейного осциллятора второго порядка с периодической вынуждающей силой отображение Пуанкаре, состоящее из периодической выборки временных точек, порождает некоторое распределение точек на плоскости.

Для вычисления фрактальной размерности полного аттрактора иногда удобно сначала вычислить фрактальную размерность отображения Пуанкаре . Если D не зависит от фазы отображения Пуанкаре (напомним, что ), то размерность полного аттрактора есть просто

(6.3.6)

В качестве примера мы рассмотрим данные численного и физического эксперимента для потенциала с двумя ямами или аттрактора Дуффинга—Холмса (гл. 2):

(6.3.7)

В этом примере нас интересуют два вопроса:

1. Изменяется ли фрактальная размерность странного аттрактора в зависимости от фазы отображения Пуанкаре?

2. Как изменяется фрактальная размерность в зависимости от коэффициента затухания

Фрактальная размерность была вычислена для нескольких экспериментальных сечений Пуанкаре. Результаты вычислений представлены в табл. 6.2. Из этой таблицы видно, что вблизи аттрактора размерность D почти постоянна, поэтому приближение d = 1 + D (6.3.6) представляется достаточно хорошим.

Результаты численного моделирования движения частицы в потенциале с двумя ямами под действием периодической вынуждаюшей силы показаны на рис. 6.9.

Таблица. 6.2. Размерность экспериментально построенного отображения Пуанкаре как функция фазы для колебаний продольно изогнутой балки

Рис. 6.9. Фрактальное распределение точек в сечении Пуанкаре в задаче о движении частицы в потенциале с двумя ямами (3.2.10). По тем же данным, которые представлены на рис. 6.8.

Зависимость корреляционной функции от представлена в дважды логарифмическом масштабе на рис. 6.10 а. Как и предполагает теория, зависимость оказывается линейной.

На рис. 6.10 использованы те же данные, что и на рис. 6.8. Из рис. 6.106 видно, что , или d = 2,5, что согласуется с размерностью, вычисленной непосредственно для полного аттрактора в фазовом пространстве (рис. 6.8).

Влияние затухания на фрактальную размерность аттрактора в задаче о потенциале с двумя ямами определялось с помощью численного моделирования по методу Рунге—Кутта. Полученная зависимость показана на рис. 6.11. Мы видим, что при слабом затухании аттрактор заполняет фазовое пространство , как гамильтонова система (с нулевым затуханием). Но при увеличении затухания отображение Пуанкаре становится одномерным, и размерность аттрактора убывает до d = 2, как в уравнениях Лоренца.

Рис. 6.10 а. Зависимость от точек в сечении Пуанкаре, представленных на рис. 6.9.

Рис. 6.10 б. Локальный угловой коэффициент кривой рис. 6.10 а. Фрактальная размерность линейного участка близка к 1,5.

Рис. 6.11. Зависимость фрактальной размерности от затухания для частицы, колеблющейся в потенциале с двумя ямами (3.2.10).

Фрактальная размерность хаотической цепи (диод, индуктивность и сопротивление, соединенные последовательно, возбуждаются генератором) была измерена Линсеем [113], построившим отображение Пуанкаре. Линсей измерял ток в выборочные моменты времени через интервалы, равные периоду генератора, и построил псевдофазовое пространство (см. следующий раздел). Полученная фрактальная размерность отображения Пуанкаре оказалась равной D = 1,58, поэтому размерность аттрактора равна 2,58.