1. Введение. Второе дыхание динамики

... поучавший свой народ

Возникновенью Неба и Земли

Из Хаоса...

Джон Мильтон, Потерянный рай,

1667 г. (пер. Арк. Штейнберга).

1.1. ЧТО ТАКОЕ ХАОТИЧЕСКАЯ ДИНАМИКА?

Для многих изучение динамики началось и закончилось вторым законом Ньютона F = mА. Нам говорили, что если заданы силы, действующие между частицами, а также начальные положения и скорости частиц, то с помощью достаточно большого компьютера можно предсказать движение или развитие системы для любого сколь угодно позднего момента времени. Однако появление больших и быстрых компьютеров не привело к обещанной бесконечной предсказуемости в динамике. Напротив, совсем недавно было обнаружено, что движение некоторых очень простых динамических систем не всегда можно предсказать на большой интервал времени. Такие движения были названы хаотическими, и их исследование привлекло в динамику некоторые новые математические идеи. Приближается трехсотлетний юбилей Principia Ньютона (1687), где в динамику введено дифференциальное исчисление. Кажется неслучайным, что по прошествии трех веков в динамике открыты новые явления, и в эту почтенную науку из топологии и геометрии проникают новые математические идеи.

Бытовое понятие хаоса очень древнее и часто ассоциируется с беспорядочным или неуправляемым физическим состоянием или поведением людей. Хаос пугает.

(см. скан)

Рис. 1.1. Турбулентный след в течении за круговым цилиндром (воспроизводится с любезного разрешения Р. Дюма).

Чувство страха вызывают такие ситуации и события, когда перестают что-то регулировать законы и традиции, — тюремный бунт, гражданская или мировая война. Правда, всегда остается надежда узнать потаенные силы или причины этого хаоса или объяснить, почему оказываются непредсказуемыми события, на вид случайные.

В контексте физики образцом хаотического явления остается турбулентность. Например, столб поднимающегося дыма и вихри за судном или крылом самолета дают наглядные примеры хаотического движения (рис. 1.1). Однако специалисты по механике жидкостей полагают, что эти явления не случайны, потому что можно выписать уравнения физики, описывающие движение каждого жидкого элемента. Кроме того, при низких скоростях структуры в жидкости вполне регулярны и предсказуемы на основе этих уравнений. Впрочем, при скоростях, превышающих некоторую критическую, течение становится турбулентным. Большая часть усилий в области современной нелинейной динамики связана с надеждой, что этот переход от упорядоченного течения к беспорядочному можно объяснить или моделировать с помощью относительно простых уравнений. В этой книге мы надеемся показать, что подобные новые подходы к турбулентности также применимы к твердотельным и электрическим непрерывным средам. Именно осознание того, что хаотическая динамика свойственна всем нелинейным физическим явлениям, вызвало ощущение революции в современной физике.

Мы должны различать так называемые случайные и хаотические движения. Первый термин относится к ситуациям, когда мы действительно не знаем действующих сил или знаем только некоторые статистические характеристики параметров. Термин «хаотический» применяется в тех детерминированных задачах, где отсутствуют случайные или непредсказуемые силы или параметры. О существовании хаотических или непредсказуемых движений, описываемых уравнениями классической физики, было известно еще Пуанкаре. Вот выдержка из его очерка «Наука и метод»:

Рис. 1.2. а — Движение шарика после нескольких соударений с бортами бильярдного стола эллиптической формы. Это движение можно описать дискретным набором чисел , называемым отображением; б — движение частицы в паре потенциальных ям под действием периодического возбуждения. При определенных условиях частица периодически перескакивает слева (L) направо (R) и обратно: LRLR... или LLRLLR... и т. д. При других условиях перескоки хаотичны, т. е. последовательность символов L и R неупорядочена.

«... иногда небольшая разница в первоначальном состоянии вызывает большое различие в окончательном явлении. Небольшая погрешность в первом вызвала бы огромную ошибку в последнем. Предсказание становится невозможным...»

В современной литературе термин «хаотический» применяется к таким движениям в детерминированных физических и математических системах, траектории которых обнаруживают сильную зависимость от начальных условий.

На рис. 1.2. показаны два примера механических систем, динамика которых хаотична. Первый пример — это мысленный эксперимент с идеализированным бильярдным шаром (мы пренебрегаем твердотельным вращением шара), который ударяется и отскакивает от сторон эллиптического бильярдного стола. Если соударения упругие, то энергия сохраняется, но для эллиптических столов определенной формы шар блуждает по столу, никогда не повторяя в точности свою траекторию.

Другой эксперимент читатель может воспроизвести сам, если у него есть доступ в лабораторию. Это шар в потенциале, состоящем из двух ям (рис. 1.2, б). Когда стол, на котором стоит прибор, не колеблется, такой шар имеет два состояния равновесия. Однако, если стол колеблется, совершая периодическое движение достаточно большой амплитуды, шар начинает беспорядочно перепрыгивать из одной ямы в другую; таким образом, периодическое воздействие на одной частоте вызывает неупорядоченный отклик с широким спектром частот. Возбуждение непрерывного спектра частот, расположенного ниже частоты воздействия, является одной из примечательных особенностей хаотических колебаний (рис. 1.3).

Рис. 1.3. Спектр мощности (преобразование Фурье) хаотического движения в паре потенциальных ям (по Й. Уэде, Университет Киото).

Другое свойство хаотических систем — потеря информации о начальных условиях. Предположим, что мы способны измерить координату с точностью , а скорость — с точностью Ли. Разделим теперь плоскость координата—скорость (называемую фазовой плоскостью) на ячейки площадью , показанные на рис. 1.4. Если начальные условия заданы с конечной точностью, то мы знаем, что система находится где-то в заштрихованной области на фазовой плоскости. Но если система хаотична, то эта неопределенность со временем растет, увеличиваясь до размера N(t) ячеек, показанных на рис. 1.4, б. Увеличение неопределенности, описываемое законом

(1.1.1)

является вторым характерным свойством хаотических систем. Постоянная А связана с понятием энтропии в теории информации (см., например, [170, 171]); ниже мы ее также свяжем с другой величиной, показателем Ляпунова (см. гл. 5), мерой скорости разбегания близких траекторий системы.

Читатель может спросить: «Если в хаотических системах невозможны предсказания, то разве в них может присутствовать какой-либо порядок?» Для диссипативных систем ответ на этот вопрос утвердителен; хаотическая динамика развивается в рамках определенной структуры. Эту структуру нелегко усмотреть с помощью обычных методов изучения динамики, например откладывая зависимость отклика от времени или получая частотный спектр.

Рис. 1.4. Иллюстрация увеличения неопределенности, или потери информации, в динамической системе. Заштрихованный квадрат в момент времени показывает неопределенность знания начальных условий.

Этот порядок следует искать в фазовом пространстве (по осям которого отложены координата и скорость). Здесь можно обнаружить, что хаотические движения обладают новым геометрическим свойством, называемым фрактальной структурой. Одна из целей этой книги — научить выявлять фрактальные структуры в хаотических колебаниях, а также количественно описывать потерю информации в этих движениях, так похожих на случайные.